Bir sınıfta her öğrenci diğer öğrencilerle birer kez tokalaşıyor ve toplam 210 tokalaşma oluyor. Buna göre sınıfta kaç öğrenci vardır?
A) 20Bu problem, bir gruptaki herkesin birbiriyle birer kez tokalaşması durumunda toplam tokalaşma sayısını bulma veya verilen tokalaşma sayısından grup büyüklüğünü bulma üzerine kurulu klasik bir kombinasyon problemidir. Adım adım nasıl çözdüğümüze bakalım:
Sınıfta belirli sayıda öğrenci var. Her öğrenci, kendisi dışındaki diğer tüm öğrencilerle sadece birer kez tokalaşıyor. Toplamda 210 tokalaşma gerçekleştiği bilgisi verilmiş. Bizden istenen, sınıftaki toplam öğrenci sayısıdır.
Eğer sınıfta $n$ tane öğrenci olduğunu varsayarsak:
Her öğrenci, kendisi hariç diğer $n-1$ öğrenciyle tokalaşır.
Eğer her öğrencinin yaptığı tokalaşmayı sayarsak, $n \times (n-1)$ gibi bir sayı elde ederiz. Ancak bu hesaplamada her tokalaşmayı iki kez saymış oluruz (örneğin, Ayşe'nin Mehmet'le tokalaşması ile Mehmet'in Ayşe'yle tokalaşması aynı olaydır).
Bu nedenle, gerçek toplam tokalaşma sayısını bulmak için bu sonucu 2'ye bölmemiz gerekir.
Tokalaşma sayısı için genel formül şöyledir: $ rac{n \times (n-1)}{2}$
Bize toplam tokalaşma sayısının 210 olduğu bilgisi verildiğine göre, denklemimizi şu şekilde kurabiliriz:
$ rac{n \times (n-1)}{2} = 210$
Şimdi bu denklemi $n$ (öğrenci sayısı) için çözelim:
Denklemin her iki tarafını 2 ile çarpalım:
$n \times (n-1) = 210 \times 2$
$n \times (n-1) = 420$
Bu noktada, çarpımları 420 olan ardışık iki tam sayı bulmamız gerekiyor. Bu tür durumlarda, 420'nin kareköküne yakın sayılar düşünmek bize yol gösterebilir. $\sqrt{420}$ yaklaşık olarak 20.49'dur.
Bu bilgiye dayanarak, aradığımız ardışık sayılar 20 ve 21 olabilir.
Kontrol edelim: $20 \times 21 = 420$.
Evet, doğru! Bu durumda, $n = 21$ olur.
Eğer sınıfta 21 öğrenci varsa, tokalaşma sayısı formülünü kullanarak kontrol edelim: $ rac{21 \times (21-1)}{2} = rac{21 \times 20}{2} = rac{420}{2} = 210$. Bu sonuç, soruda verilen toplam tokalaşma sayısıyla tamamen eşleşmektedir.
Bu durumda sınıfta 21 öğrenci vardır.
Cevap B seçeneğidir.
