Çevre uzunluğu $24 \text{ cm}$ olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı olduğuna göre, bu dikdörtgenin alanı en fazla kaç $\text{cm}^2$ olabilir?
A) $20$Bu soruda, çevresi belirli olan bir dikdörtgenin alanının en fazla kaç olabileceğini bulacağız. Dikdörtgenin kenar uzunluklarının doğal sayı olması önemli bir ipucu!
Bir dikdörtgenin çevresi, iki uzun kenarı ve iki kısa kenarının toplamıdır. Eğer uzun kenara $a$ ve kısa kenara $b$ dersek, çevre formülü şöyledir:
$ \text{Çevre} = 2 \times (a + b) $
Soruda bize çevrenin $24 \text{ cm}$ olduğu verilmiş. O zaman formülü kullanarak $a+b$ toplamını bulabiliriz:
$ 24 = 2 \times (a + b) $
Eşitliğin her iki tarafını $2$'ye bölersek:
$ \frac{24}{2} = a + b $
$ 12 = a + b $
Yani, dikdörtgenin uzun kenarı ile kısa kenarının toplamı $12 \text{ cm}$ olmalıdır.
Şimdi, toplamları $12$ olan ve doğal sayı olan tüm kenar uzunluğu çiftlerini (uzun kenar $a$, kısa kenar $b$) düşünelim. Unutmayın, bir dikdörtgende genellikle uzun kenar kısa kenardan daha büyüktür veya eşit olabilir (kare özel bir dikdörtgendir).
Kenar çiftleri şunlar olabilir:
• Eğer $b = 1 \text{ cm}$ ise, $a = 12 - 1 = 11 \text{ cm}$. (Kenarlar: $1 \text{ cm}$ ve $11 \text{ cm}$)
• Eğer $b = 2 \text{ cm}$ ise, $a = 12 - 2 = 10 \text{ cm}$. (Kenarlar: $2 \text{ cm}$ ve $10 \text{ cm}$)
• Eğer $b = 3 \text{ cm}$ ise, $a = 12 - 3 = 9 \text{ cm}$. (Kenarlar: $3 \text{ cm}$ ve $9 \text{ cm}$)
• Eğer $b = 4 \text{ cm}$ ise, $a = 12 - 4 = 8 \text{ cm}$. (Kenarlar: $4 \text{ cm}$ ve $8 \text{ cm}$)
• Eğer $b = 5 \text{ cm}$ ise, $a = 12 - 5 = 7 \text{ cm}$. (Kenarlar: $5 \text{ cm}$ ve $7 \text{ cm}$)
• Eğer $b = 6 \text{ cm}$ ise, $a = 12 - 6 = 6 \text{ cm}$. (Kenarlar: $6 \text{ cm}$ ve $6 \text{ cm}$ - Bu bir karedir!)
Daha fazla devam etmemize gerek yok çünkü $b=7$ olursa $a=5$ olur ki bu zaten $a=7, b=5$ durumuyla aynıdır, sadece kenarların yerleri değişmiş olur.
Bir dikdörtgenin alanı, uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımıdır: $ \text{Alan} = a \times b $
Hesaplamalarımız:
• Kenarlar $1 \text{ cm}$ ve $11 \text{ cm}$ ise, Alan $= 1 \times 11 = 11 \text{ cm}^2$
• Kenarlar $2 \text{ cm}$ ve $10 \text{ cm}$ ise, Alan $= 2 \times 10 = 20 \text{ cm}^2$
• Kenarlar $3 \text{ cm}$ ve $9 \text{ cm}$ ise, Alan $= 3 \times 9 = 27 \text{ cm}^2$
• Kenarlar $4 \text{ cm}$ ve $8 \text{ cm}$ ise, Alan $= 4 \times 8 = 32 \text{ cm}^2$
• Kenarlar $5 \text{ cm}$ ve $7 \text{ cm}$ ise, Alan $= 5 \times 7 = 35 \text{ cm}^2$
• Kenarlar $6 \text{ cm}$ ve $6 \text{ cm}$ ise, Alan $= 6 \times 6 = 36 \text{ cm}^2$
Hesapladığımız alan değerlerini karşılaştıralım: $11, 20, 27, 32, 35, 36$.
Bu değerler arasında en büyüğü $36 \text{ cm}^2$'dir.
Gördüğümüz gibi, kenar uzunlukları birbirine en yakın olduğunda (yani $6 \text{ cm}$ ve $6 \text{ cm}$ olduğunda, ki bu bir karedir) alan en büyük değeri almıştır. Bu, sabit bir çevreye sahip dikdörtgenler arasında alanı en büyük olanın kare olduğu genel kuralını da doğrular.
Cevap D seçeneğidir.
