Çevre uzunluğu $48$ cm olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayıdır. Bu dikdörtgenin uzun kenarı, kısa kenarının $2$ katından $3$ cm fazla ise, kısa kenarı kaç cm'dir?
A) $6$
B) $7$
C) $8$
D) $9$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir dikdörtgenin çevre uzunluğu ve kenarları arasındaki ilişki verilmiş. Bizden kısa kenarının uzunluğunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu problemi kolayca çözelim.
- Adım 1: Dikdörtgenin Çevre Formülünü Hatırlayalım
- Bir dikdörtgenin çevresi, kısa kenarı ile uzun kenarının toplamının $2$ katıdır.
- Kısa kenara $k$ diyelim.
- Uzun kenara $u$ diyelim.
- Çevre $= 2 \times (k + u)$
- Adım 2: Verilen Bilgileri Matematiksel İfadeye Dönüştürelim
- Soruda çevre uzunluğunun $48$ cm olduğu belirtilmiş: $2 \times (k + u) = 48$
- Uzun kenarın, kısa kenarın $2$ katından $3$ cm fazla olduğu söylenmiş: $u = 2k + 3$
- Adım 3: Çevre Denklemini Sadeleştirelim
- $2 \times (k + u) = 48$ denkleminin her iki tarafını $2$'ye bölelim.
- $k + u = \frac{48}{2}$
- $k + u = 24$
- Adım 4: Uzun Kenar Bilgisini Sadeleştirilmiş Çevre Denklemine Yerine Koyalım
- Şimdi elimizde iki temel denklem var:
- $k + u = 24$
- $u = 2k + 3$
- İkinci denklemi ($u = 2k + 3$) birinci denkleme $u$ yerine yazalım. Yani, $u$ gördüğümüz yere $2k + 3$ yazacağız.
- $k + (2k + 3) = 24$
- Adım 5: Kısa Kenarı ($k$) Bulmak İçin Denklemi Çözelim
- Denklemimizi düzenleyelim: $k + 2k + 3 = 24$
- Benzer terimleri toplayalım: $3k + 3 = 24$
- Şimdi $3$'ü denklemin sağ tarafına atalım. Eşitliğin diğer tarafına geçerken işareti değişir, yani çıkarma işlemi olur.
- $3k = 24 - 3$
- $3k = 21$
- $k$'yi bulmak için her iki tarafı $3$'e bölelim.
- $k = \frac{21}{3}$
- $k = 7$
- Adım 6: Sonucu Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı)
- Kısa kenar $k = 7$ cm.
- Uzun kenarı bulalım: $u = 2k + 3 = 2 \times 7 + 3 = 14 + 3 = 17$ cm.
- Çevreyi hesaplayalım: Çevre $= 2 \times (k + u) = 2 \times (7 + 17) = 2 \times 24 = 48$ cm.
- Gördüğümüz gibi, bulduğumuz değerler sorudaki tüm koşulları sağlıyor ve kenar uzunlukları doğal sayıdır.
Buna göre, kısa kenar $7$ cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
