Aşağıdaki kenar uzunluklarından hangileri bir üçgen oluşturabilir?
A) $2 \text{ cm}, 3 \text{ cm}, 6 \text{ cm}$
B) $4 \text{ cm}, 5 \text{ cm}, 9 \text{ cm}$
C) $5 \text{ cm}, 7 \text{ cm}, 10 \text{ cm}$
D) $1 \text{ cm}, 1 \text{ cm}, 2 \text{ cm}$
Bir üçgenin kenar uzunlukları arasında çok önemli bir ilişki vardır. Bu ilişkiye "Üçgen Eşitsizliği" denir. Üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan daha büyük olmalıdır. Eğer bu kural sağlanmazsa, o kenar uzunluklarıyla bir üçgen oluşturmak mümkün değildir.
Şimdi verilen seçenekleri bu kurala göre tek tek inceleyelim:
- A) $2 \text{ cm}, 3 \text{ cm}, 6 \text{ cm}$
- En kısa iki kenarın toplamını bulalım: $2 \text{ cm} + 3 \text{ cm} = 5 \text{ cm}$.
- Bu toplamı en uzun kenarla karşılaştıralım: $5 \text{ cm}$ ve $6 \text{ cm}$.
- Gördüğümüz gibi, $5 \text{ cm}$ değeri $6 \text{ cm}$'den büyük değildir ($5 \text{ cm} < 6 \text{ cm}$).
- Bu durumda, bu kenar uzunluklarıyla bir üçgen oluşturulamaz.
- B) $4 \text{ cm}, 5 \text{ cm}, 9 \text{ cm}$
- En kısa iki kenarın toplamını bulalım: $4 \text{ cm} + 5 \text{ cm} = 9 \text{ cm}$.
- Bu toplamı en uzun kenarla karşılaştıralım: $9 \text{ cm}$ ve $9 \text{ cm}$.
- Burada toplam, üçüncü kenara eşittir ($9 \text{ cm} = 9 \text{ cm}$). Üçgen eşitsizliğine göre toplamın kesinlikle büyük olması gerekir. Eşit olması durumunda kenarlar üst üste gelir ve bir üçgen oluşmaz, düz bir çizgi oluşturur (dejenere üçgen).
- Bu durumda, bu kenar uzunluklarıyla bir üçgen oluşturulamaz.
- C) $5 \text{ cm}, 7 \text{ cm}, 10 \text{ cm}$
- En kısa iki kenarın toplamını bulalım: $5 \text{ cm} + 7 \text{ cm} = 12 \text{ cm}$.
- Bu toplamı en uzun kenarla karşılaştıralım: $12 \text{ cm}$ ve $10 \text{ cm}$.
- Gördüğümüz gibi, $12 \text{ cm}$ değeri $10 \text{ cm}$'den büyüktür ($12 \text{ cm} > 10 \text{ cm}$).
- Bu koşul sağlandığı için, bu kenar uzunluklarıyla bir üçgen oluşturulabilir.
- D) $1 \text{ cm}, 1 \text{ cm}, 2 \text{ cm}$
- En kısa iki kenarın toplamını bulalım: $1 \text{ cm} + 1 \text{ cm} = 2 \text{ cm}$.
- Bu toplamı en uzun kenarla karşılaştıralım: $2 \text{ cm}$ ve $2 \text{ cm}$.
- Burada da toplam, üçüncü kenara eşittir ($2 \text{ cm} = 2 \text{ cm}$). Daha önce de belirttiğimiz gibi, toplamın kesinlikle büyük olması gerekir.
- Bu durumda, bu kenar uzunluklarıyla bir üçgen oluşturulamaz.
Yapılan incelemeler sonucunda, sadece C seçeneğindeki kenar uzunluklarının üçgen eşitsizliğini sağladığını görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
