5. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 4. senaryo Test 2

Çevre uzunluğu $36$ cm olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı olduğuna göre, bu dikdörtgenin alanı en fazla kaç $\text{cm}^2$ olabilir?

A) $72$
B) $80$
C) $81$
D) $90$

Sevgili öğrenciler, bu problemde bir dikdörtgenin çevre uzunluğu verilmiş ve kenar uzunluklarının doğal sayı olduğu belirtilerek, alanının en fazla kaç olabileceği soruluyor. Adım adım bu problemi nasıl çözeceğimize bakalım:

• 1. Dikdörtgenin Çevre Formülünü Hatırlayalım:

  Bir dikdörtgenin çevre uzunluğu, kısa kenarı ($a$) ile uzun kenarının ($b$) toplamının iki katına eşittir. Yani formülümüz:

  $P = 2 \times (a + b)$

• 2. Verilen Çevre Uzunluğunu Formülde Yerine Koyalım:

  Soruda çevre uzunluğu $36$ cm olarak verilmiş. Bu değeri formülümüze yazalım:

  $36 = 2 \times (a + b)$

  Şimdi eşitliğin her iki tarafını $2$'ye bölerek kısa kenar ile uzun kenarın toplamını bulalım:

  $\frac{36}{2} = a + b$

  $18 = a + b$

  Bu, kısa kenar ile uzun kenarın toplamının $18$ cm olduğu anlamına gelir.

• 3. Dikdörtgenin Alan Formülünü Hatırlayalım:

  Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ($a$) ile uzun kenarının ($b$) çarpımına eşittir:

  $A = a \times b$

  Bizden bu alanın en fazla kaç olabileceği isteniyor.

• 4. Kenar Uzunlukları Doğal Sayı Olma Şartını Kullanalım ve Olası Değerleri İnceleyelim:

  Kenar uzunlukları doğal sayı olmalı ve toplamları $18$ olmalı ($a+b=18$). Alanın ($a \times b$) en büyük olmasını istiyoruz. İki sayının toplamı sabit olduğunda, çarpımlarının en büyük olması için bu sayıların birbirine en yakın olması gerekir. Hatta eşit olmaları durumunda çarpım en büyük olur.

  Şimdi $a+b=18$ şartını sağlayan doğal sayı çiftlerini ve bu çiftlerin çarpımlarını (alanlarını) inceleyelim:

  Eğer $a=1$ ise, $b=17 \implies A = 1 \times 17 = 17 \text{ cm}^2$

  Eğer $a=2$ ise, $b=16 \implies A = 2 \times 16 = 32 \text{ cm}^2$

  Eğer $a=3$ ise, $b=15 \implies A = 3 \times 15 = 45 \text{ cm}^2$

  Eğer $a=4$ ise, $b=14 \implies A = 4 \times 14 = 56 \text{ cm}^2$

  Eğer $a=5$ ise, $b=13 \implies A = 5 \times 13 = 65 \text{ cm}^2$

  Eğer $a=6$ ise, $b=12 \implies A = 6 \times 12 = 72 \text{ cm}^2$

  Eğer $a=7$ ise, $b=11 \implies A = 7 \times 11 = 77 \text{ cm}^2$

  Eğer $a=8$ ise, $b=10 \implies A = 8 \times 10 = 80 \text{ cm}^2$

  Eğer $a=9$ ise, $b=9 \implies A = 9 \times 9 = 81 \text{ cm}^2$

  Gördüğümüz gibi, kenar uzunlukları birbirine yaklaştıkça alan değeri artmaktadır. Kenar uzunlukları eşit olduğunda (yani dikdörtgen bir kare olduğunda) alan en büyük değerine ulaşır.

• 5. En Büyük Alanı Belirleyelim:

  Yukarıdaki listeden de anlaşıldığı gibi, kenar uzunlukları $9$ cm ve $9$ cm olduğunda (yani bir kare olduğunda), alan $81 \text{ cm}^2$ ile en büyük değerini alır.

Cevap C seçeneğidir.