Çevre uzunluğu 88 cm olan dairesel bir halka, kesilerek düz bir tel haline getiriliyor. Bu tel ile kenar uzunlukları tam sayı olan bir dikdörtgen oluşturulmak isteniyor. Oluşturulabilecek en büyük dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?
A) 360Bu soruda, dairesel bir halkanın düz bir tel haline getirilmesiyle oluşan bir telin uzunluğunu ve bu telden oluşturulacak dikdörtgenin en büyük alanını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Dairesel halkanın çevre uzunluğu 88 cm olarak verilmiş. Bu halka kesilip düz bir tel haline getirildiğinde, telin uzunluğu halkanın çevre uzunluğuna eşit olacaktır.
Yani, telin uzunluğu = 88 cm.
Bu 88 cm uzunluğundaki tel ile bir dikdörtgen oluşturuluyor. Bu durumda, telin uzunluğu dikdörtgenin çevre uzunluğuna eşit olur.
Dikdörtgenin çevresi = 88 cm.
Bir dikdörtgenin çevre formülü, kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olmak üzere $2 \times (a + b)$ şeklindedir.
Bu durumda, $2 \times (a + b) = 88$ cm olur.
Her iki tarafı 2'ye bölersek, dikdörtgenin iki kenarının toplamını buluruz:
$a + b = 44$ cm.
Kenar uzunlukları tam sayı olan bir dikdörtgenin alanının en büyük olmasını istiyoruz. Bir dikdörtgenin alanı $A = a \times b$ formülüyle bulunur.
Çevresi sabit olan bir dikdörtgenin alanının en büyük olması için, kenar uzunluklarının birbirine en yakın olması gerekir. İdeal olarak, kenarlar birbirine eşit olduğunda (yani bir kare oluşturulduğunda) alan en büyük olur.
Kenarların toplamı $a + b = 44$ cm olduğuna göre, kenarların birbirine en yakın olduğu durum $a = b$ olduğunda gerçekleşir.
$a = b = 44 / 2 = 22$ cm.
Bu durumda, dikdörtgen bir kare olur ve alanı:
$A = 22 \times 22 = 484$ cm² olur.
Hesapladığımız en büyük alan 484 cm²'dir. Ancak, verilen seçeneklere baktığımızda 484 cm² değeri bulunmamaktadır. Bu durumda, kenar uzunlukları tam sayı olan ve çevresi 88 cm olan dikdörtgenler arasında, 484 cm²'ye en yakın ve seçeneklerde bulunan en büyük değeri aramalıyız.
Kenarların toplamı 44 olacak şekilde, 22'ye yakın tam sayı çiftlerini ve alanlarını inceleyelim:
Eğer kenarlar $a=21$ cm ve $b=23$ cm olursa ($a+b=44$), Alan $= 21 \times 23 = 483$ cm² olur. Bu değer de seçeneklerde yoktur.
Eğer kenarlar $a=20$ cm ve $b=24$ cm olursa ($a+b=44$), Alan $= 20 \times 24 = 480$ cm² olur. Bu değer seçeneklerde (C seçeneği) mevcuttur!
Daha da uzak kenar çiftleri (örneğin $a=19$ cm ve $b=25$ cm) daha küçük alanlar verecektir ($19 \times 25 = 475$ cm²).
Bu nedenle, seçenekler arasında oluşturulabilecek en büyük alan 480 cm²'dir.
Cevap C seçeneğidir.
