11. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 3

$f(x) = 3\sin(4x-5) + 1$ fonksiyonunun esas periyodu kaçtır?

A) $\frac{\pi}{4}$
B) $\frac{\pi}{2}$
C) $\pi$
D) $2\pi$
E) $4\pi$

Trigonometrik fonksiyonların esas periyodunu bulmak için belirli kuralları bilmemiz gerekir. Fonksiyonumuz $f(x) = 3\sin(4x-5) + 1$ şeklindedir.

• Adım 1: Trigonometrik Fonksiyonların Genel Periyot Kuralını Hatırlayalım

Bir sinüs veya kosinüs fonksiyonunun genel formu $f(x) = a\sin(bx+c) + d$ veya $f(x) = a\cos(bx+c) + d$ şeklindedir. Bu tür fonksiyonların esas periyodu $T = \frac{2\pi}{|b|}$ formülü ile bulunur.

Burada $a$ genlik katsayısı, $c$ faz kayması ve $d$ dikey kayma olup periyodu etkilemezler. Esas periyodu belirleyen tek önemli katsayı, $x$'in katsayısı olan $b$'dir.

• Adım 2: Verilen Fonksiyonu Genel Form ile Karşılaştıralım

Fonksiyonumuz $f(x) = 3\sin(4x-5) + 1$.

Genel form $f(x) = a\sin(bx+c) + d$ ile karşılaştırdığımızda, $x$'in katsayısı olan $b$ değerini belirlememiz gerekir. Bu durumda $b = 4$ olarak bulunur.

Diğer katsayılar $a=3$, $c=-5$ ve $d=1$ olsa da, periyot hesaplaması için bu değerler önemli değildir.

• Adım 3: Periyot Formülünü Uygulayalım

Esas periyot formülümüz $T = \frac{2\pi}{|b|}$ idi.

Bulduğumuz $b = 4$ değerini bu formülde yerine yazalım:

$T = \frac{2\pi}{|4|}$

• Adım 4: Periyodu Hesaplayalım

Mutlak değer içindeki $4$ sayısı pozitif olduğu için $|4| = 4$ olur.

$T = \frac{2\pi}{4}$

Bu ifadeyi sadeleştirdiğimizde esas periyodu buluruz:

$T = \frac{\pi}{2}$

Buna göre, $f(x) = 3\sin(4x-5) + 1$ fonksiyonunun esas periyodu $\frac{\pi}{2}$'dir.

Cevap B seçeneğidir.