$\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$ ifadesinin değeri kaçtır?
A) $\frac{\pi}{6}$Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, ters trigonometrik fonksiyonlardan biri olan $\arcsin$ fonksiyonunun değerini nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Hazırsanız başlayalım!
$\arcsin(x)$ ifadesi, "sinüsü $x$ olan açı" anlamına gelir. Yani, eğer $\sin(\theta) = x$ ise, o zaman $\arcsin(x) = \theta$ olur. Burada $\theta$ açısı genellikle radyan cinsinden ifade edilir.
$\arcsin$ fonksiyonunun ana değer aralığı (principal value range) $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$'dir. Bu, bulacağımız açının bu aralıkta olması gerektiği anlamına gelir. Yani, $-90^\circ$ ile $90^\circ$ arasında bir açı arıyoruz.
Sorumuzdaki ifadeyi bir $y$ değişkenine eşitleyelim: $y = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Bu eşitlik, tanım gereği, $\sin(y) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ anlamına gelir.
Hangi açının sinüsünün $\frac{\sqrt{3}}{2}$ olduğunu düşünelim. Temel trigonometrik değerleri hatırlarsak, $60^\circ$ (derece) açısının sinüsünün $\frac{\sqrt{3}}{2}$ olduğunu biliyoruz. Yani, $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Trigonometride genellikle radyan cinsinden çalışırız. $60^\circ$ açısını radyan cinsine çevirelim. Bunun için $\pi$ radyanın $180^\circ$ olduğunu kullanırız:
$60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180}$ radyan $= \frac{60\pi}{180}$ radyan $= \frac{\pi}{3}$ radyan.
Bulduğumuz açı $\frac{\pi}{3}$'tür. Bu açı, $\arcsin$ fonksiyonunun değer aralığı olan $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ aralığında mıdır? Evet, $\frac{\pi}{3}$ (yani $60^\circ$), $-\frac{\pi}{2}$ (yani $-90^\circ$) ile $\frac{\pi}{2}$ (yani $90^\circ$) arasındadır.
Tüm adımları tamamladığımızda, $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$ ifadesinin değerinin $\frac{\pi}{3}$ olduğunu buluruz.
Bu durumda, doğru seçenek C seçeneğidir.
Cevap C seçeneğidir.
