10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo test 1

Bir dik üçgende dar açılardan biri $\alpha$ olsun. Eğer $\tan \alpha = \frac{5}{12}$ ise, $\sin \alpha + \cos \alpha$ ifadesinin değeri kaçtır?

A) \frac{13}{17}
B) \frac{17}{13}
C) \frac{12}{5}
D) \frac{5}{12}
E) \frac{17}{12}

Merhaba öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek $\sin \alpha + \cos \alpha$ ifadesinin değerini bulalım.

• Adım 1: Dik Üçgeni Çizmek ve Kenarları Belirlemek

Öncelikle bir dik üçgen çizelim ve dar açılarından birine $\alpha$ diyelim. $\tan \alpha = \frac{5}{12}$ olduğu bilgisi bize $\alpha$ açısının karşısındaki kenarın uzunluğunun 5 ve komşu kenarın uzunluğunun 12 ile orantılı olduğunu söyler. Yani, karşı kenara 5k ve komşu kenara 12k diyebiliriz (k bir oran sabiti).

• Adım 2: Hipotenüsü Bulmak

Şimdi Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsün uzunluğunu bulalım. Hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir. Yani:

$\text{Hipotenüs}^2 = (5k)^2 + (12k)^2 = 25k^2 + 144k^2 = 169k^2$

Buradan hipotenüsün uzunluğu $\sqrt{169k^2} = 13k$ olarak bulunur.

• Adım 3: $\sin \alpha$ ve $\cos \alpha$ Değerlerini Bulmak

Şimdi $\sin \alpha$ ve $\cos \alpha$ değerlerini bulalım:

$\sin \alpha = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{5k}{13k} = \frac{5}{13}$

$\cos \alpha = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13}$

• Adım 4: $\sin \alpha + \cos \alpha$ İfadesini Hesaplamak

Son olarak, $\sin \alpha + \cos \alpha$ ifadesinin değerini hesaplayalım:

$\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{5}{13} + \frac{12}{13} = \frac{5+12}{13} = \frac{17}{13}$

Cevap B seçeneğidir.