🎓 10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, 10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı sınavında karşılaşabileceğin Sayma ve Olasılık ile Fonksiyonlar konularındaki temel bilgileri sade bir dille özetlemektedir. Başarılar dileriz!
📌 Sayma ve Olasılık
Bu bölümde, belirli bir olayın kaç farklı şekilde gerçekleşebileceğini veya bir olayın gerçekleşme şansını hesaplamayı öğreniyoruz. Temel sayma yöntemleri ve olasılık kavramı önemlidir.
- Faktöriyel (!): Bir doğal sayının kendisinden küçük tüm pozitif tam sayılarla çarpımıdır. $n! = n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1$. Örneğin, $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$. $0! = 1$ kabul edilir.
- Permütasyon (Sıralama): Farklı nesnelerin belirli bir sıraya göre dizilişlerinin sayısıdır. Sıra önemlidir. $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$ formülü ile hesaplanır. Örneğin, 3 farklı kitap 3 farklı rafa kaç farklı şekilde dizilebilir? $P(3,3) = 3! = 6$.
- Kombinasyon (Seçme): Farklı nesneler arasından belirli sayıda nesnenin seçilme sayısıdır. Sıra önemli değildir, sadece seçim önemlidir. $C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ formülü ile hesaplanır. Örneğin, 5 kişiden 2 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilebilir? $C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$.
- Binom Açılımı: $(x+y)^n$ şeklindeki ifadelerin kuvvetlerinin açılımıdır. Katsayılar Pascal üçgeninden veya kombinasyon formülü ile bulunur. $(x+y)^n = \binom{n}{0}x^n y^0 + \binom{n}{1}x^{n-1}y^1 + ... + \binom{n}{n}x^0 y^n$.
- Olasılık: Bir olayın gerçekleşme şansıdır. İstenilen durum sayısının tüm durum sayısına oranıdır. $P(\text{Olay}) = \frac{\text{İstenilen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durum Sayısı}}$. Olasılık değeri $0$ ile $1$ arasındadır ($0 \le P(\text{Olay}) \le 1$).
💡 İpucu: Permütasyon ve kombinasyon arasındaki farkı iyi anla. "Sıralama" veya "diziliş" varsa permütasyon, "seçim" veya "oluşturma" varsa kombinasyon kullanırsın.
📌 Fonksiyonlar
Fonksiyonlar, iki küme arasındaki özel bir ilişkidir. Her elemanı sadece bir elemana eşleyen bir kuraldır.
- Fonksiyon Tanımı: $A$ kümesinden $B$ kümesine tanımlı bir $f$ fonksiyonu için, $A$ kümesindeki her elemanın $B$ kümesinde yalnız bir görüntüsü olmalıdır. $A$ tanım kümesi, $B$ değer kümesi, $f(A)$ ise görüntü kümesidir.
- Fonksiyon Türleri:
- Birebir Fonksiyon: Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklıdır. ($x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$).
- Örten Fonksiyon: Görüntü kümesi ile değer kümesi birbirine eşittir ($f(A) = B$). Yani değer kümesinde boşta eleman kalmaz.
- İçine Fonksiyon: Örten olmayan fonksiyondur ($f(A) \ne B$). Değer kümesinde boşta eleman kalır.
- Birim Fonksiyon: Her elemanı kendisine eşler. $f(x) = x$.
- Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki her elemanı aynı sabit sayıya eşler. $f(x) = c$ (c bir sabit sayı).
- Doğrusal Fonksiyon: $f(x) = ax+b$ şeklinde yazılabilen fonksiyonlardır. Grafikleri bir doğrudur.
- Fonksiyonlarda Dört İşlem: İki fonksiyon $f(x)$ ve $g(x)$ için:
- Toplama: $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$
- Çıkarma: $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$
- Çarpma: $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$
- Bölme: $(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, ($g(x) \ne 0$)
- Bileşke Fonksiyon: İki fonksiyonun art arda uygulanmasıdır. $(f \circ g)(x) = f(g(x))$. Önce $g(x)$ hesaplanır, sonra çıkan sonuç $f$ fonksiyonunda yerine yazılır. Bileşke fonksiyonun değişme özelliği yoktur: $(f \circ g)(x) \ne (g \circ f)(x)$.
- Ters Fonksiyon: Bir $f$ fonksiyonunun tersi $f^{-1}$ ile gösterilir. $f: A \to B$ ise $f^{-1}: B \to A$ olur. Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için birebir ve örten olması gerekir. Ters fonksiyonu bulmak için $y=f(x)$ ifadesinde $x$ yalnız bırakılır ve $x$ yerine $f^{-1}(y)$, $y$ yerine $x$ yazılır. Örneğin, $f(x)=2x+1$ ise $y=2x+1 \Rightarrow y-1=2x \Rightarrow x=\frac{y-1}{2}$. Yani $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$.
⚠️ Dikkat: Bileşke fonksiyonda işlem sırası çok önemlidir. $(f \circ g)(x)$ ifadesinde önce içteki fonksiyon ($g(x)$) uygulanır!
📌 Polinomlar
Polinomlar, matematiksel ifadelerin özel bir türüdür ve genellikle cebirsel denklemleri çözmek için kullanılır.
- Polinom Tanımı: $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$ şeklindeki ifadelere polinom denir. Burada $a_n, ..., a_0$ reel sayılar (katsayılar) ve $n$ bir doğal sayıdır (derece). $x$'in kuvvetleri doğal sayı olmalıdır.
- Derece: Bir polinomdaki en büyük $x$ kuvvetidir. $\text{der}[P(x)] = n$ şeklinde gösterilir.
- Sabit Terim: $P(0)$ ile bulunur, yani $x$ yerine $0$ yazıldığında elde edilen değerdir. (Genellikle $a_0$ terimi).
- Katsayılar Toplamı: $P(1)$ ile bulunur, yani $x$ yerine $1$ yazıldığında elde edilen değerdir.
- Polinomlarda Dört İşlem: Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri benzer terimlerin katsayıları toplanarak/çıkarılarak veya dağılma özelliği kullanılarak yapılır.
- Kalan Teoremi: Bir $P(x)$ polinomunun $(x-a)$ ile bölümünden kalan $P(a)$'dır. Örneğin, $P(x)$'in $(x-2)$ ile bölümünden kalan $P(2)$'dir. Eğer $P(a) = 0$ ise $(x-a)$ polinomun bir çarpanıdır.
💡 İpucu: Polinomlarda $x$'in kuvvetlerinin mutlaka doğal sayı ($0, 1, 2, ...$) olmasına dikkat et. Örneğin, $\sqrt{x}$ veya $x^{-1}$ içeren ifadeler polinom değildir.
