$120$ sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?
A) 8Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için izlememiz gereken adımlar şunlardır:
Verilen sayı $120$'dir. $120$ sayısını asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazalım. Bu, sayıyı en küçük asal sayılardan başlayarak bölme işlemiyle yapılabilir:
$120 \div 2 = 60$
$60 \div 2 = 30$
$30 \div 2 = 15$
$15 \div 3 = 5$
$5 \div 5 = 1$
Bu durumda, $120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$ olarak yazılır.
Üslü ifade şeklinde gösterirsek: $120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$ olur.
Yani, $120$ sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali $2^3 \times 3^1 \times 5^1$'dir.
Asal çarpanlara ayrılmış hali $2^3 \times 3^1 \times 5^1$ olan $120$ sayısında, her bir asal çarpanın üssü (kuvveti) şunlardır:
$2$ asalının üssü $3$'tür.
$3$ asalının üssü $1$'dir.
$5$ asalının üssü $1$'dir.
Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \ldots \times p_k^{a_k}$ şeklinde ise, bu sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, her bir asal çarpanın üssüne $1$ ekleyip bu sonuçları birbiriyle çarparak bulunur. Formül şöyledir: $(a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_k+1)$.
Bizim durumumuzda, $120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$ olduğu için üsler $a_1=3$, $a_2=1$ ve $a_3=1$'dir.
Bölen sayısı $ = (3+1) \times (1+1) \times (1+1)$
Bölen sayısı $ = 4 \times 2 \times 2$
Bölen sayısı $ = 16$ olur.
Bu nedenle, $120$ sayısının $16$ tane pozitif tam sayı böleni vardır.
Cevap C seçeneğidir.
