10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo test 1

Bir $A$ doğal sayısının $4$ ile bölümünden kalan $2$, $5$ ile bölümünden kalan $3$ olduğuna göre, $A$ sayısının $20$ ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 18

Bu problemde, bir sayının farklı sayılarla bölümünden kalanları biliyoruz ve bu sayının başka bir sayıyla bölümünden kalanı bulmamız isteniyor. Bu tür problemler, modüler aritmetik adı verilen matematik dalının temelini oluşturur ve oldukça eğlencelidir.

Şimdi sorumuzu adım adım çözelim:

• Adım 1: Verilen Bilgileri Matematiksel Olarak İfade Etme

  Soruda verilen bilgileri matematiksel olarak yazalım:

  $A$ sayısının $4$ ile bölümünden kalan $2$ ise, bunu $A \equiv 2 \pmod{4}$ şeklinde ifade edebiliriz. Bu, $A$ sayısının $4$'ün bir katından $2$ fazla olduğu anlamına gelir. Yani, $A = 4k + 2$ diyebiliriz, burada $k$ bir tam sayıdır.

  $A$ sayısının $5$ ile bölümünden kalan $3$ ise, bunu $A \equiv 3 \pmod{5}$ şeklinde ifade edebiliriz. Bu da $A$ sayısının $5$'in bir katından $3$ fazla olduğu anlamına gelir.

• Adım 2: İlk İfadeyi İkinci İfadeye Uygulama

  İlk ifademizden $A = 4k + 2$ olduğunu biliyoruz. Bu ifadeyi ikinci denklemimizde $A$ yerine yazalım:

  $4k + 2 \equiv 3 \pmod{5}$

• Adım 3: $k$ Değerini Bulma

  Şimdi bu denklemi $k$ için çözelim. Amacımız $k$'nın $5$ ile bölümünden kalanı bulmak:

  Eşitliğin her iki tarafından $2$ çıkaralım:

  $4k \equiv 3 - 2 \pmod{5}$

  $4k \equiv 1 \pmod{5}$

  Şimdi $4k$'nın $5$ ile bölümünden kalanın $1$ olmasını sağlayan en küçük pozitif $k$ değerini bulmalıyız. $4$'ün $5$ ile bölümünden kalan $-1$ olduğu için, $4k \equiv -k \pmod{5}$ yazabiliriz.

  Yani, $-k \equiv 1 \pmod{5}$ olur.

  Her iki tarafı $-1$ ile çarparsak (veya $4$ ile çarparsak, çünkü $4 \times 4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$):

  $k \equiv -1 \pmod{5}$

  Negatif kalan yerine pozitif kalan kullanmak daha kolaydır: $-1 + 5 = 4$.

  Dolayısıyla, $k \equiv 4 \pmod{5}$ buluruz.

  Bu, $k$ sayısının $5$'in bir katından $4$ fazla olduğu anlamına gelir. Yani, $k = 5m + 4$ şeklinde yazabiliriz, burada $m$ bir tam sayıdır.

• Adım 4: $A$ Sayısını Genel Olarak İfade Etme

  Şimdi $k$ için bulduğumuz bu ifadeyi ($k = 5m + 4$) $A = 4k + 2$ denkleminde yerine yazalım:

  $A = 4(5m + 4) + 2$

  Parantezi açalım:

  $A = 20m + 16 + 2$

  $A = 20m + 18$

• Adım 5: Sonucu Yorumlama ve Kontrol Etme

  $A = 20m + 18$ ifadesi, $A$ sayısının $20$'nin bir katından $18$ fazla olduğu anlamına gelir. Başka bir deyişle, $A$ sayısının $20$ ile bölümünden kalan $18$'dir.

  Bu sonucu kontrol edelim:

  Eğer $A=18$ alırsak:

  $18 \div 4 = 4$ kalan $2$. (Doğru)

  $18 \div 5 = 3$ kalan $3$. (Doğru)

  Bu durumda, $A$'nın $20$ ile bölümünden kalan $18$ olur.

Cevap E seçeneğidir.