10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo test 3

$\frac{\sin x}{1+\cos x} + \frac{1+\cos x}{\sin x}$ ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

A) $2\sin x$
B) $2\cos x$
C) $2\tan x$
D) $2\cot x$
E) $2\csc x$

Verilen ifadeyi en sade haline getirelim:

• Adım 1: İfadeyi tek bir kesir haline getirelim. Bunun için payda eşitlememiz gerekiyor. İlk terimi $\sin x$ ile, ikinci terimi ise $1+\cos x$ ile genişletelim:

  $\frac{\sin x}{1+\cos x} + \frac{1+\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x \cdot \sin x}{(1+\cos x) \cdot \sin x} + \frac{(1+\cos x) \cdot (1+\cos x)}{\sin x \cdot (1+\cos x)}$

  $= \frac{\sin^2 x + (1+\cos x)^2}{\sin x (1+\cos x)}$

• Adım 2: Payı açalım ve sadeleştirelim:

  $\frac{\sin^2 x + (1 + 2\cos x + \cos^2 x)}{\sin x (1+\cos x)} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x + 1 + 2\cos x}{\sin x (1+\cos x)}$

  Trigonometrik özdeşliğe göre $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ olduğundan:

  $\frac{1 + 1 + 2\cos x}{\sin x (1+\cos x)} = \frac{2 + 2\cos x}{\sin x (1+\cos x)}$

• Adım 3: Payı 2 parantezine alalım:

  $\frac{2(1 + \cos x)}{\sin x (1+\cos x)}$

• Adım 4: $1+\cos x$ terimini sadeleştirelim:

  $\frac{2}{\sin x}$

• Adım 5: $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ olduğunu hatırlayalım. Bu durumda:

  $\frac{2}{\sin x} = 2 \csc x$

Bu nedenle, ifadenin en sade hali $2\csc x$ olur.

Cevap E seçeneğidir.