10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 4. senaryo test 3

Bir sınıftaki öğrenciler ikişerli, üçerli ve beşerli gruplara ayrıldığında her seferinde $1$ öğrenci artmaktadır. Sınıf mevcudunun $50$ ile $70$ arasında olduğu bilindiğine göre, bu sınıfta kaç öğrenci vardır?

A) 51
B) 56
C) 61
D) 66
E) 71

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu tür problemler, bir sayının farklı sayılara bölündüğünde hep aynı kalanı vermesi durumunu inceler. Bu durumu adım adım nasıl çözeceğimizi görelim:

• 1. Adım: Problemi Matematiksel İfadeye Çevirelim

  Sınıftaki öğrenci sayısına $N$ diyelim. Soruda verilen bilgilere göre:

  • İkişerli gruplara ayrıldığında $1$ öğrenci artıyor: Bu, $N$ sayısının $2$'ye bölündüğünde kalanın $1$ olduğu anlamına gelir. Matematiksel olarak $N \equiv 1 \pmod{2}$ şeklinde ifade edebiliriz.
  • Üçerli gruplara ayrıldığında $1$ öğrenci artıyor: Bu, $N$ sayısının $3$'e bölündüğünde kalanın $1$ olduğu anlamına gelir. Matematiksel olarak $N \equiv 1 \pmod{3}$ şeklinde ifade edebiliriz.
  • Beşerli gruplara ayrıldığında $1$ öğrenci artıyor: Bu, $N$ sayısının $5$'e bölündüğünde kalanın $1$ olduğu anlamına gelir. Matematiksel olarak $N \equiv 1 \pmod{5}$ şeklinde ifade edebiliriz.
• 2. Adım: Ortak Kalanı Kullanarak Yeni Bir Sayı Tanımlayalım

  Gördüğümüz gibi, her durumda kalan $1$. Bu bize çok önemli bir ipucu veriyor! Eğer öğrenci sayısından $1$ çıkarırsak, yani $N-1$ sayısını bulursak, bu sayı hem $2$'ye, hem $3$'e hem de $5$'e tam olarak bölünebilen bir sayı olmalıdır. Çünkü $N-1$ sayısının $2$, $3$ ve $5$'e bölümünden kalan $0$ olacaktır.

  Yani, $N-1$ sayısı, $2$, $3$ ve $5$'in ortak bir katı olmalıdır.

• 3. Adım: En Küçük Ortak Katı (EKOK) Bulalım

  $N-1$ sayısının $2$, $3$ ve $5$'in ortak katı olduğunu biliyoruz. Bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulalım. $2$, $3$ ve $5$ asal sayılar olduğu için, EKOK'ları bu sayıların çarpımına eşittir:

  $\text{EKOK}(2, 3, 5) = 2 \times 3 \times 5 = 30$

  Bu, $N-1$ sayısının $30$'un bir katı olması gerektiği anlamına gelir.

• 4. Adım: Olası Öğrenci Sayılarını Bulalım

  $N-1$ sayısı $30$'un katları olabilir. Bu katlara $1$ ekleyerek olası $N$ değerlerini bulalım:

  • Eğer $N-1 = 30$ ise, $N = 30 + 1 = 31$ öğrenci olabilir.
  • Eğer $N-1 = 60$ ise, $N = 60 + 1 = 61$ öğrenci olabilir.
  • Eğer $N-1 = 90$ ise, $N = 90 + 1 = 91$ öğrenci olabilir.
  • Ve bu şekilde devam eder...
• 5. Adım: Sınıf Mevcudu Aralığını Kullanarak Doğru Cevabı Seçelim

  Soruda sınıf mevcudunun $50$ ile $70$ arasında olduğu belirtilmiştir. Bulduğumuz olası öğrenci sayılarına ($31, 61, 91, \dots$) baktığımızda, bu aralığa uyan tek sayı $61$'dir.

  Demek ki, sınıfta $61$ öğrenci vardır.

Cevap C seçeneğidir.