$ f(x) = \sqrt{x-3} + \frac{1}{x-5} $ fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $ [3, \infty) $Fonksiyonun Tanım Kümesini Bulma Adımları:
Bir fonksiyonun tanım kümesi, o fonksiyonu oluşturan her bir ifadenin tanımlı olduğu değerlerin kesişim kümesidir. Verilen fonksiyon $ f(x) = \sqrt{x-3} + \frac{1}{x-5} $ iki ana kısımdan oluşmaktadır:
1. Kısım: Kareköklü İfade
Kareköklü bir ifadenin, yani $ \sqrt{A} $ şeklindeki bir ifadenin gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir. Bu durumda, $ x-3 \ge 0 $ olmalıdır.
Bu eşitsizliği çözdüğümüzde:
$ x-3 \ge 0 \implies x \ge 3 $
Bu, $ x $ değerlerinin $ 3 $ ve $ 3 $'ten büyük tüm gerçel sayılar olması gerektiği anlamına gelir. Interval gösterimiyle $ [3, \infty) $ şeklinde ifade edilir.
2. Kısım: Rasyonel İfade (Kesirli İfade)
Kesirli bir ifadenin, yani $ \frac{1}{B} $ şeklindeki bir ifadenin gerçel sayılarda tanımlı olabilmesi için paydasının sıfırdan farklı olması gerekir. Bu durumda, $ x-5 \ne 0 $ olmalıdır.
Bu eşitsizliği çözdüğümüzde:
$ x-5 \ne 0 \implies x \ne 5 $
Bu, $ x $ değerinin $ 5 $ olmaması gerektiği anlamına gelir.
Tanım Kümelerinin Kesişimi
Fonksiyonun en geniş tanım kümesi, her iki koşulun da aynı anda sağlandığı $ x $ değerlerinin kümesidir. Yani, $ x \ge 3 $ koşulu ile $ x \ne 5 $ koşulunun kesişimini almalıyız.
Bu koşulları birleştirdiğimizde, $ x $ değeri $ 3 $'ten büyük veya eşit olmalı, ancak $ 5 $ olmamalıdır.
Bu durumu interval gösterimiyle şu şekilde ifade ederiz: $ [3, 5) \cup (5, \infty) $.
Cevap C seçeneğidir.
