10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 1

$\frac{\sin x}{1+\cos x} + \frac{1+\cos x}{\sin x}$ ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

A) $2\sin x$
B) $2\cos x$
C) $2\sec x$
D) $2\csc x$
E) $1$

Bu trigonometri sorusunu çözerken, amacımız verilen ifadeyi en sade haline getirmek. İşlemleri adım adım takip ederek doğru cevaba ulaşacağız.

• Adım 1: Payda Eşitleme

Verilen ifadeyi tekrar yazalım: $\frac{\sin x}{1+\cos x} + \frac{1+\cos x}{\sin x}$. Bu iki kesri toplamak için paydalarını eşitlememiz gerekiyor. İlk kesri $\sin x$ ile, ikinci kesri ise $1+\cos x$ ile genişletelim.

Bu durumda ifademiz şu hale gelir: $\frac{\sin x \cdot \sin x}{(1+\cos x) \cdot \sin x} + \frac{(1+\cos x) \cdot (1+\cos x)}{\sin x \cdot (1+\cos x)}$

• Adım 2: Payları Düzenleme

Payları düzenleyelim:

$\frac{\sin^2 x}{\sin x(1+\cos x)} + \frac{1 + 2\cos x + \cos^2 x}{\sin x(1+\cos x)}$

• Adım 3: Kesirleri Birleştirme

Şimdi kesirleri tek bir kesir olarak birleştirebiliriz:

$\frac{\sin^2 x + 1 + 2\cos x + \cos^2 x}{\sin x(1+\cos x)}$

• Adım 4: Trigonometrik Özdeşliği Kullanma

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ olduğunu biliyoruz. Bu özdeşliği kullanarak ifademizi sadeleştirelim:

$\frac{1 + 1 + 2\cos x}{\sin x(1+\cos x)} = \frac{2 + 2\cos x}{\sin x(1+\cos x)}$

• Adım 5: Ortak Çarpanı Alma ve Sadeleştirme

Paydaki $2$ ortak çarpanını alalım:

$\frac{2(1 + \cos x)}{\sin x(1+\cos x)}$

Şimdi $(1 + \cos x)$ terimini sadeleştirebiliriz:

$\frac{2}{\sin x}$

• Adım 6: Trigonometrik Fonksiyonu Tanımlama

$\csc x = \frac{1}{\sin x}$ olduğunu biliyoruz. Bu nedenle ifademiz şu şekilde sadeleşir:

$2\csc x$

Cevap D seçeneğidir.