$A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ sayısının asal olmayan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?
A) $12$ B) $24$ C) $21$ D) $20$ E) $18$
İşte adım adım çözüm:
Adım 1: Öncelikle $A$ sayısının tüm pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulalım. Bir sayının pozitif bölen sayısı, asal çarpanlarına ayrılmış halindeki üslerin birer fazlasının çarpımı ile bulunur. $A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ olduğundan, $A$'nın pozitif bölen sayısı $(3+1) \cdot (2+1) \cdot (1+1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ tanedir.
Adım 2: Şimdi $A$ sayısının asal bölenlerini belirleyelim. $A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış olduğundan, $A$'nın asal bölenleri $2$, $3$ ve $5$ olmak üzere 3 tanedir.
Adım 3: $A$ sayısının asal olmayan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için, tüm pozitif bölenlerinin sayısından asal bölenlerinin sayısını çıkarırız. Ancak burada dikkat etmemiz gereken bir nokta var: 1 sayısı da bir bölen olmasına rağmen asal değildir. Bu yüzden 1'i de asal olmayan bölenler arasında saymalıyız. Dolayısıyla, asal olmayan bölenlerin sayısı = (Tüm bölenlerin sayısı) - (Asal bölenlerin sayısı). Yani, $24 - 3 = 21$ tanedir.
