10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 1

Boyutları $120 \text{ cm}$ ve $150 \text{ cm}$ olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçe, hiç boşluk kalmayacak ve üst üste gelmeyecek şekilde eş kare parsellere ayrılacaktır. Bu parsellerden birinin kenar uzunluğu en fazla kaç santimetre olabilir?

A) $10$
B) $20$
C) $30$
D) $40$
E) $60$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu problemde dikdörtgen şeklindeki bir bahçeyi eş kare parsellere ayırma işlemini inceleyeceğiz. Amacımız, bu kare parsellerin kenar uzunluğunun en fazla kaç santimetre olabileceğini bulmak.

• Problemi Anlayalım:

  Bir bahçemiz var. Bu bahçenin boyutları $120 \text{ cm}$ ve $150 \text{ cm}$. Bahçeyi, hiç boşluk kalmayacak ve parseller üst üste gelmeyecek şekilde eş kare parsellere ayırmak istiyoruz. Bizden istenen, bu kare parsellerden birinin kenar uzunluğunun en fazla kaç santimetre olabileceği.

• Anahtar Kavramı Belirleyelim:

  Kare parsellerin kenar uzunluğu, hem $120 \text{ cm}$'lik kenarı hem de $150 \text{ cm}$'lik kenarı tam bölmelidir. Çünkü kareler boşluk kalmadan ve üst üste gelmeden yerleştirilecektir. Bu durumda, aradığımız kenar uzunluğu, $120$ ve $150$ sayılarının ortak bir böleni olmalıdır.

  Soruda "en fazla kaç santimetre olabilir?" dendiği için, $120$ ve $150$ sayılarının en büyük ortak bölenini (EBOB) bulmamız gerekiyor. EBOB, hem $120$'yi hem de $150$'yi bölen en büyük sayıdır.

• EBOB'u Bulma Yöntemi (Asal Çarpanlara Ayırma):

  EBOB'u bulmak için sayıları asal çarpanlarına ayıralım:

  • $120$'nin asal çarpanları: $120 = 10 \times 12 = (2 \times 5) \times (2^2 \times 3) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
  • $150$'nin asal çarpanları: $150 = 10 \times 15 = (2 \times 5) \times (3 \times 5) = 2^1 \times 3^1 \times 5^2$

  EBOB'u bulurken, her iki sayıda da ortak olan asal çarpanları, üslerinin en küçüğünü alarak çarparız:

  • Ortak asal çarpan $2$: $120$'de $2^3$, $150$'de $2^1$. En küçük üs $1$, yani $2^1$.
  • Ortak asal çarpan $3$: $120$'de $3^1$, $150$'de $3^1$. En küçük üs $1$, yani $3^1$.
  • Ortak asal çarpan $5$: $120$'de $5^1$, $150$'de $5^2$. En küçük üs $1$, yani $5^1$.

  Bu durumda, $EBOB(120, 150) = 2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 2 \times 3 \times 5 = 30$.

• Sonucu Değerlendirelim:

  Bulduğumuz $30 \text{ cm}$ değeri, hem $120 \text{ cm}$'yi ($120 \div 30 = 4$ parça) hem de $150 \text{ cm}$'yi ($150 \div 30 = 5$ parça) tam böler. Bu da demektir ki, $30 \text{ cm}$ kenar uzunluğuna sahip kare parsellerle bahçeyi tam olarak kaplayabiliriz ve bu, mümkün olan en büyük kenar uzunluğudur.

Cevap C seçeneğidir.