Merhaba arkadaşlar, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Bu tür sorular, bölme ve kalan ilişkisini anlamamızı gerektiriyor. Hazırsanız başlayalım!
- Adım 1: Verilenleri Anlama
- $A$ sayısının $5$ ile bölümünden kalan $3$ ise, bunu $A \equiv 3 \pmod{5}$ şeklinde yazabiliriz. Bu, $A = 5k + 3$ anlamına gelir (burada $k$ bir tam sayıdır).
- $A$ sayısının $6$ ile bölümünden kalan $4$ ise, bunu $A \equiv 4 \pmod{6}$ şeklinde yazabiliriz. Bu da $A = 6m + 4$ anlamına gelir (burada $m$ bir tam sayıdır).
- Adım 2: Denklemleri Birleştirme
- Şimdi elimizde iki denklem var:
- $A = 5k + 3$
- $A = 6m + 4$
- Bu iki denklemi eşitleyebiliriz: $5k + 3 = 6m + 4$
- Denklemi düzenleyelim: $5k = 6m + 1$
- Adım 3: $k$ ve $m$ İçin Değer Bulma
- $5k = 6m + 1$ denklemini sağlayan $k$ ve $m$ değerlerini bulmamız gerekiyor. Bu tür denklemleri çözerken deneme yanılma yöntemini kullanabiliriz veya modüler aritmetik bilgimizi kullanabiliriz.
- $m = 4$ için $6m + 1 = 6(4) + 1 = 25$ olur. Bu durumda $5k = 25$ ve $k = 5$ olur. Yani, $k=5$ ve $m=4$ değerleri denklemi sağlar.
- Adım 4: $A$ Sayısını Bulma
- $k = 5$ değerini $A = 5k + 3$ denkleminde yerine koyarsak: $A = 5(5) + 3 = 25 + 3 = 28$
- $m = 4$ değerini $A = 6m + 4$ denkleminde yerine koyarsak: $A = 6(4) + 4 = 24 + 4 = 28$
- Her iki durumda da $A = 28$ bulduk. Bu, $A$ sayısının $28$ olabileceğini gösteriyor. Ancak, bu sadece bir çözümdür. Genel çözümü bulmamız gerekiyor.
- Adım 5: Genel Çözümü Bulma
- $A = 5k + 3$ ve $A = 6m + 4$ denklemlerini sağlayan genel çözümü bulmak için, $5$ ve $6$'nın en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız. EKOK(5, 6) = 30'dur.
- Bu durumda, $A = 28 + 30n$ şeklinde genel bir çözüm yazabiliriz (burada $n$ bir tam sayıdır). Bu, $A$ sayısının $30$ ile bölümünden kalanın $28$ olduğunu gösterir.
- Adım 6: $30$ ile Bölümünden Kalanı Bulma
- $A$ sayısının $30$ ile bölümünden kalanı bulmak için, $A = 28 + 30n$ ifadesine bakmalıyız. $30n$ ifadesi $30$'un katı olduğu için, kalanı etkilemez. Dolayısıyla, $A$ sayısının $30$ ile bölümünden kalan $28$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
