10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 1

$5$ basamaklı $3A4B1$ sayısının $9$ ile bölümünden kalan $2$ ve $4$ ile bölümünden kalan $1$'dir. Buna göre $A+B$ toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) $10$
B) $11$
C) $12$
D) $13$
E) $14$

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruyu adım adım çözerek $A+B$ toplamının alabileceği en büyük değeri bulalım.

• Adım 1: 9 ile Bölünebilme Kuralı

Bir sayının 9 ile bölümünden kalanı bulmak için rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana bakarız. $3A4B1$ sayısının 9 ile bölümünden kalan 2 ise, rakamları toplamı olan $3 + A + 4 + B + 1 = A + B + 8$'in 9 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. Yani, $A + B + 8 \equiv 2 \pmod{9}$ olmalıdır. Bu durumda $A + B + 8 = 9k + 2$ şeklinde yazabiliriz. Buradan $A + B = 9k - 6$ olur. $A$ ve $B$ birer rakam (0-9 arası) olduklarından $A + B$'nin alabileceği değerler 3, 12 olabilir. Çünkü $A+B$ toplamı en fazla $9+9=18$ olabilir.

• Adım 2: 4 ile Bölünebilme Kuralı

Bir sayının 4 ile bölümünden kalanı bulmak için son iki basamağına bakarız. $3A4B1$ sayısının 4 ile bölümünden kalan 1 ise, $B1$ sayısının 4 ile bölümünden kalan 1 olmalıdır. Yani, $10B + 1 \equiv 1 \pmod{4}$ olmalıdır. Bu durumda $10B + 1 = 4m + 1$ şeklinde yazabiliriz. Buradan $10B = 4m$ ve $5B = 2m$ olur. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için $B$ çift sayı olmalıdır. O halde $B$ yerine yazılabilecek rakamlar 0, 2, 4, 6, 8'dir.

• Adım 3: A+B Toplamının En Büyük Değeri

Şimdi $A+B$ toplamının alabileceği en büyük değeri bulmaya çalışalım.

• Eğer $A+B = 3$ ise, $B$ değerleri 0, 2 olabilir. Bu durumda $A$ değerleri sırasıyla 3, 1 olur.
• Eğer $A+B = 12$ ise, $B$ değerleri 0, 2, 4, 6, 8 olabilir. Bu durumda $A$ değerleri sırasıyla 12, 10, 8, 6, 4 olur. Ancak $A$ bir rakam olmalı, yani en fazla 9 olabilir. Bu yüzden $A=8, B=4$ veya $A=6, B=6$ veya $A=4, B=8$ olabilir.
$A+B$ toplamının alabileceği en büyük değer 12'dir.

Cevap C seçeneğidir.