10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 2. senaryo Test 4

$2^{2023}$ sayısının $5$ ile bölümünden kalan kaçtır?

A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $4$
E) $0$

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür üslü sayılarda bölümden kalan bulma soruları, matematikte çok eğlenceli ve mantık yürütmeye dayalı konulardan biridir. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözebiliriz.

• Adım 1: Kalanları İnceleyelim

  Büyük üslü sayılarla çalışırken, genellikle bir örüntü (desen) bulmaya çalışırız. $2$ sayısının $5$ ile bölümünden kalanlarını üsleri artırarak inceleyelim:

  • $2^1 = 2$. $2$ sayısının $5$ ile bölümünden kalan $2$'dir. Yani $2^1 \equiv 2 \pmod{5}$.
  • $2^2 = 4$. $4$ sayısının $5$ ile bölümünden kalan $4$'tür. Yani $2^2 \equiv 4 \pmod{5}$.
  • $2^3 = 8$. $8$ sayısının $5$ ile bölümünden kalan $3$'tür (çünkü $8 = 1 \times 5 + 3$). Yani $2^3 \equiv 3 \pmod{5}$.
  • $2^4 = 16$. $16$ sayısının $5$ ile bölümünden kalan $1$'dir (çünkü $16 = 3 \times 5 + 1$). Yani $2^4 \equiv 1 \pmod{5}$.
  • $2^5 = 32$. $32$ sayısının $5$ ile bölümünden kalan $2$'dir (çünkü $32 = 6 \times 5 + 2$). Yani $2^5 \equiv 2 \pmod{5}$.
• Adım 2: Örüntüyü (Deseni) Bulalım

  Kalanlara baktığımızda bir döngü (periyot) olduğunu fark ederiz: $2, 4, 3, 1, 2, ...$. Bu döngü $4$ adımda bir kendini tekrar ediyor. Yani her $4$ üs sonra kalanlar başa dönüyor.

  Bu durumda, $2^4 \equiv 1 \pmod{5}$ olması bizim için çok önemlidir. Çünkü $1$ kalanı, sonraki hesaplamaları çok kolaylaştırır.

• Adım 3: Üssü Döngü Uzunluğuna Göre İnceleyelim

  Üssümüz $2023$ ve döngü uzunluğumuz $4$. Bu durumda, $2023$ sayısının $4$ ile bölümünden kalanı bulmamız gerekiyor. Bu kalan, $2^{2023}$ sayısının $5$ ile bölümünden kalanın hangi adıma denk geldiğini bize gösterecek.

  $2023$ sayısının $4$ ile bölümünden kalanı bulmak için, sadece son iki basamağına bakmamız yeterlidir ($23$).

  • $23 \div 4 = 5$ ve kalan $3$'tür.
  • Yani $2023 \equiv 3 \pmod{4}$.
• Adım 4: Sonucu Bulalım

  Üssümüz $2023$, $4$ ile bölündüğünde $3$ kalanını verdiğine göre, $2^{2023}$ sayısının $5$ ile bölümünden kalan, $2^3$ sayısının $5$ ile bölümünden kalana eşit olacaktır.

  • $2^3 = 8$.
  • $8$ sayısının $5$ ile bölümünden kalan $3$'tür.

  O halde, $2^{2023}$ sayısının $5$ ile bölümünden kalan $3$'tür.

Cevap C seçeneğidir.