10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 1

Bir $x$ doğal sayısı $5$ ile bölündüğünde $2$, $6$ ile bölündüğünde $3$ kalanını vermektedir. Buna göre $x$'in alabileceği en küçük iki basamaklı doğal sayı değeri kaçtır?

A) $17$
B) $23$
C) $27$
D) $33$
E) $37$

Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen bilgileri matematiksel olarak ifade edelim:

• $x$ sayısı $5$ ile bölündüğünde $2$ kalanını veriyorsa, bu durumu $x \equiv 2 \pmod{5}$ şeklinde yazabiliriz. Bu, $x = 5k + 2$ anlamına gelir (burada $k$ bir tam sayıdır).
• $x$ sayısı $6$ ile bölündüğünde $3$ kalanını veriyorsa, bu durumu $x \equiv 3 \pmod{6}$ şeklinde yazabiliriz. Bu, $x = 6m + 3$ anlamına gelir (burada $m$ bir tam sayıdır).

Şimdi bu iki ifadeyi birleştirmeye çalışalım. Yani, hem $x = 5k + 2$ hem de $x = 6m + 3$ eşitliklerini sağlayan bir $x$ bulmalıyız.

• $5k + 2 = 6m + 3$ eşitliğini düzenlersek, $5k = 6m + 1$ elde ederiz.
• Buradan $k = \frac{6m + 1}{5}$ sonucuna ulaşırız. $k$'nin bir tam sayı olması gerektiğinden, $6m + 1$ ifadesi $5$'in katı olmalıdır.

$m$'ye değerler vererek $6m + 1$'in $5$'in katı olup olmadığını kontrol edelim:

• $m = 0$ için, $6(0) + 1 = 1$ (5'in katı değil)
• $m = 1$ için, $6(1) + 1 = 7$ (5'in katı değil)
• $m = 2$ için, $6(2) + 1 = 13$ (5'in katı değil)
• $m = 3$ için, $6(3) + 1 = 19$ (5'in katı değil)
• $m = 4$ için, $6(4) + 1 = 25$ (5'in katı)

$m = 4$ için $6m + 1 = 25$ olduğundan, $k = \frac{25}{5} = 5$ olur. Bu durumda $x = 5k + 2 = 5(5) + 2 = 27$ olur.

Bulduğumuz $x = 27$ değeri, hem $5$ ile bölündüğünde $2$ kalanını, hem de $6$ ile bölündüğünde $3$ kalanını veriyor. Ayrıca, $27$ iki basamaklı bir doğal sayıdır. Daha küçük bir değer bulmak için $m$'ye daha küçük değerler vermiştik ve sonuç alamamıştık. Dolayısıyla, $x$'in alabileceği en küçük iki basamaklı doğal sayı değeri $27$'dir.

Cevap C seçeneğidir