Aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiyon belirtir?
A) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{x-2}$
B) $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$, $f(x) = x-5$
C) $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$, $f(x) = x^2+1$
D) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{x-1}$
E) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2+3$
Fonksiyon olmanın temel kuralı, tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde yalnızca bir karşılığının olmasıdır. Şimdi seçenekleri bu kurala göre inceleyelim:
- A) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{x-2}$: Bu ifade bir fonksiyon belirtmez. Çünkü $x = 2$ olduğunda payda sıfır olur ve fonksiyon tanımsız hale gelir. Yani, tanım kümesinde (reel sayılar) bir elemanın (2) karşılığı yoktur.
- B) $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$, $f(x) = x-5$: Bu ifade bir fonksiyon belirtir. Çünkü doğal sayılar kümesindeki her eleman için $x-5$ bir tam sayıya karşılık gelir. Örneğin, $f(1) = 1-5 = -4$ gibi.
- C) $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$, $f(x) = x^2+1$: Bu ifade bir fonksiyon belirtir. Çünkü tam sayılar kümesindeki her eleman için $x^2+1$ bir doğal sayıya karşılık gelir. Örneğin, $f(-1) = (-1)^2 + 1 = 2$ gibi.
- D) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sqrt{x-1}$: Bu ifade bir fonksiyon belirtmez. Çünkü $x < 1$ olduğunda kök içi negatif olur ve sonuç reel sayı olmaz. Örneğin, $x = 0$ için $f(0) = \sqrt{-1}$ reel sayı değildir. Yani, tanım kümesindeki bazı elemanların (1'den küçük reel sayılar) değer kümesinde (reel sayılar) karşılığı yoktur.
- E) $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2+3$: Bu ifade bir fonksiyon belirtir. Çünkü reel sayılar kümesindeki her eleman için $x^2+3$ bir reel sayıya karşılık gelir. $x^2$ her zaman pozitiftir veya sıfırdır, bu yüzden $x^2 + 3$ her zaman 3 veya daha büyük bir reel sayıdır.
Bu nedenle, fonksiyon belirten tek seçenek E seçeneğidir.
Cevap E seçeneğidir.
