Bir $N$ doğal sayısı 6'ya bölündüğünde 4 kalanını, 8'e bölündüğünde 6 kalanını vermektedir. Buna göre, $N$'nin alabileceği en küçük üç basamaklı doğal sayı değeri kaçtır?
A) 118Bu tür soruları çözerken, verilen kalan bilgilerini matematiksel olarak ifade etmek ve ardından ortak bir özellik bulmaya çalışmak önemlidir.
Soruda verilen ilk bilgiye göre, bir $N$ doğal sayısı 6'ya bölündüğünde 4 kalanını vermektedir. Bunu şu şekilde yazabiliriz:
$N \equiv 4 \pmod{6}$
Bu, $N$ sayısının 6'nın bir katından 4 fazla olduğu anlamına gelir. Yani, $N = 6k + 4$ (burada $k$ bir tam sayıdır).
İkinci bilgiye göre, aynı $N$ doğal sayısı 8'e bölündüğünde 6 kalanını vermektedir. Bunu da şu şekilde yazabiliriz:
$N \equiv 6 \pmod{8}$
Bu da $N$ sayısının 8'in bir katından 6 fazla olduğu anlamına gelir. Yani, $N = 8m + 6$ (burada $m$ bir tam sayıdır).
Şimdi her iki denklemi de inceleyelim:
$N \equiv 4 \pmod{6}$
$N \equiv 6 \pmod{8}$
Dikkat edersek, her iki durumda da kalan, bölenin 2 eksiğidir ($6-2=4$ ve $8-2=6$). Bu bize önemli bir ipucu verir. Eğer $N$ sayısına 2 eklersek ne olur?
$N+2 \equiv 4+2 \pmod{6} \implies N+2 \equiv 6 \pmod{6} \implies N+2 \equiv 0 \pmod{6}$
Bu, $N+2$ sayısının 6'ya tam bölündüğü anlamına gelir.
Aynı şekilde ikinci denklem için de deneyelim:
$N+2 \equiv 6+2 \pmod{8} \implies N+2 \equiv 8 \pmod{8} \implies N+2 \equiv 0 \pmod{8}$
Bu da $N+2$ sayısının 8'e tam bölündüğü anlamına gelir.
Yani, $N+2$ sayısı hem 6'ya hem de 8'e tam bölünebilen bir sayıdır. Başka bir deyişle, $N+2$ sayısı, 6 ve 8'in ortak bir katıdır.
$N+2$ sayısı hem 6'nın hem de 8'in katı olduğuna göre, $N+2$ sayısının alabileceği en küçük pozitif değer, 6 ve 8'in en küçük ortak katı (EKOK) olacaktır.
6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, ...
8'in katları: 8, 16, 24, 32, ...
EKOK(6, 8) = 24'tür.
Bu durumda, $N+2$ sayısı 24'ün bir katı olmalıdır. Yani, $N+2 = 24p$ şeklinde yazılabilir (burada $p$ bir pozitif tam sayıdır).
$N+2 = 24p$ ise, $N = 24p - 2$ olur.
Şimdi $N$'nin alabileceği en küçük üç basamaklı doğal sayı değerini bulmak için $p$ yerine farklı pozitif tam sayılar yazalım:
Eğer $p=1$ ise: $N = 24(1) - 2 = 22$ (iki basamaklı)
Eğer $p=2$ ise: $N = 24(2) - 2 = 48 - 2 = 46$ (iki basamaklı)
Eğer $p=3$ ise: $N = 24(3) - 2 = 72 - 2 = 70$ (iki basamaklı)
Eğer $p=4$ ise: $N = 24(4) - 2 = 96 - 2 = 94$ (iki basamaklı)
Eğer $p=5$ ise: $N = 24(5) - 2 = 120 - 2 = 118$ (üç basamaklı ve aradığımız en küçük değer)
Buna göre, $N$'nin alabileceği en küçük üç basamaklı doğal sayı değeri 118'dir.
Bulduğumuz $N=118$ sayısını kontrol edelim:
118'i 6'ya bölelim: $118 = 6 \times 19 + 4$. Kalan 4'tür, doğrudur.
118'i 8'e bölelim: $118 = 8 \times 14 + 6$. Kalan 6'dır, doğrudur.
Her iki koşulu da sağladığına göre, cevabımız doğrudur.
Cevap A seçeneğidir.
