10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 4

Bir $ABC$ üçgeninde $a=6$, $b=8$ ve $m(\hat{C})=60^\circ$ olduğuna göre, $c$ kenarının uzunluğu kaç birimdir?

A) $\sqrt{37}$
B) $\sqrt{48}$
C) $\sqrt{52}$
D) $\sqrt{64}$
E) $\sqrt{76}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü verilmiş. Bizden üçüncü kenarın uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu tür durumlarda kullanacağımız en güçlü araçlardan biri Kosinüs Teoremi'dir.

• 1. Adım: Kosinüs Teoremi'ni Hatırlayalım

Bir $ABC$ üçgeninde, kenar uzunlukları $a$, $b$, $c$ ve bu kenarların karşısındaki açılar $A$, $B$, $C$ olmak üzere, Kosinüs Teoremi şu şekilde ifade edilir:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

Bu formül, iki kenar uzunluğu ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenarı bulmamızı sağlar.

• 2. Adım: Verilen Değerleri Belirleyelim

Soruda bize şu bilgiler verilmiş:

• $a = 6$ birim
• $b = 8$ birim
• $m(\hat{C}) = 60^\circ$

Bizden $c$ kenarının uzunluğunu bulmamız isteniyor.

• 3. Adım: Kosinüs Değerini Bulalım

Kosinüs Teoremi'nde kullanacağımız $\cos(C)$ değerini, yani $\cos(60^\circ)$ değerini bilmemiz gerekiyor. Özel açılardan bildiğimiz üzere:

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

• 4. Adım: Değerleri Formülde Yerine Koyalım ve Hesaplayalım

Şimdi tüm bu değerleri Kosinüs Teoremi formülünde yerine koyarak $c^2$ değerini bulalım:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$

$c^2 = (6)^2 + (8)^2 - 2 \cdot (6) \cdot (8) \cdot \cos(60^\circ)$

$c^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 48 \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = 100 - 96 \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = 100 - 48$

$c^2 = 52$

• 5. Adım: $c$ Kenarının Uzunluğunu Bulalım

$c^2 = 52$ olduğuna göre, $c$ kenarının uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:

$c = \sqrt{52}$

Seçeneklere baktığımızda $\sqrt{52}$ ifadesi doğrudan bir seçenek olarak verilmiştir.

Cevap C seçeneğidir.