10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo Test 4

$f(x) = x^2-4x+m$ fonksiyonunun görüntü kümesinin en küçük değeri $5$ olduğuna göre, $m$ kaçtır?

A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir parabolün en küçük değerini kullanarak bilinmeyen bir katsayıyı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Fonksiyonun Türünü Belirleyelim:

  Verilen fonksiyon $f(x) = x^2-4x+m$ şeklindedir. Bu, ikinci dereceden bir fonksiyondur ve grafiği bir paraboldür.

• 2. Parabolün Yönünü ve En Küçük/En Büyük Değerini Anlayalım:

  Bir parabolün genel denklemi $ax^2+bx+c$ şeklindedir. Bizim fonksiyonumuzda $a=1$ (çünkü $x^2$'nin katsayısı $1$'dir). $a$ katsayısı pozitif ($a > 0$) olduğunda, parabolün kolları yukarı doğru açılır. Kolları yukarı doğru açılan bir parabolün bir tepe noktası vardır ve bu tepe noktası, fonksiyonun alabileceği en küçük değeri temsil eder. Eğer $a < 0$ olsaydı, kollar aşağı doğru açılır ve tepe noktası en büyük değeri verirdi.

• 3. Tepe Noktasının x-Koordinatını Bulalım:

  Parabolün tepe noktasının x-koordinatı, $x_v = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur. Fonksiyonumuzda $a=1$ ve $b=-4$'tür.

  $x_v = -\frac{(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

  Yani, fonksiyon en küçük değerini $x=2$ noktasında alır.

• 4. Fonksiyonun En Küçük Değerini Hesaplayalım:

  Fonksiyonun en küçük değeri, tepe noktasının y-koordinatıdır. Bunu bulmak için, bulduğumuz $x_v=2$ değerini $f(x)$ fonksiyonunda yerine yazarız:

  $f(2) = (2)^2 - 4(2) + m$

  $f(2) = 4 - 8 + m$

  $f(2) = -4 + m$

• 5. Verilen Bilgiyi Kullanarak $m$ Değerini Bulalım:

  Soruda, fonksiyonun görüntü kümesinin en küçük değerinin $5$ olduğu belirtilmiştir. Biz de en küçük değeri $-4+m$ olarak bulduk. Bu iki ifadeyi birbirine eşitleyerek $m$ değerini bulabiliriz:

  $-4 + m = 5$

  $m = 5 + 4$

  $m = 9$

Böylece, $m$ değerini $9$ olarak bulmuş olduk.

Cevap C seçeneğidir.