12. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 8. senaryo meb Test 1

$f(x) = \sin(2x)$ fonksiyonunun $[0, \pi]$ aralığındaki ortalama değeri nedir?

A) 0
B) $\frac{1}{\pi}$
C) $\frac{2}{\pi}$
D) $\frac{\pi}{2}$
E) $\pi$

Bir $f(x)$ fonksiyonunun $[a, b]$ aralığındaki ortalama değeri, aşağıdaki formül ile hesaplanır:

$$f_{ort} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$$

• 1. Verilenleri Belirleme:

  Soruya göre, fonksiyonumuz $f(x) = \sin(2x)$ ve aralığımız $[0, \pi]$'dir. Bu durumda $a=0$ ve $b=\pi$ olur.

• 2. Ortalama Değer Formülünü Uygulama:

  Formülü kullanarak ortalama değeri hesaplayalım:

  $$f_{ort} = \frac{1}{\pi - 0} \int_{0}^{\pi} \sin(2x) dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(2x) dx$$

• 3. İntegrali Hesaplama:

  Öncelikle $\sin(2x)$ fonksiyonunun belirsiz integralini bulalım:

  $$\int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C$$

  Şimdi belirli integrali hesaplayalım:

  $$\int_{0}^{\pi} \sin(2x) dx = \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{0}^{\pi}$$

  Üst ve alt sınırları yerine koyarak hesaplamayı yapalım:

  $$= \left( -\frac{1}{2}\cos(2\pi) \right) - \left( -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0) \right)$$

  $$\cos(2\pi) = 1$$

  $$\cos(0) = 1$$

  Değerleri yerine yazalım:

  $$= \left( -\frac{1}{2} \cdot 1 \right) - \left( -\frac{1}{2} \cdot 1 \right)$$

  $$= -\frac{1}{2} - \left( -\frac{1}{2} \right)$$

  $$= -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$$

• 4. Ortalama Değeri Bulma (Standart Tanıma Göre):

  İntegral sonucunu formüldeki yerine koyarsak:

  $$f_{ort} = \frac{1}{\pi} \cdot 0 = 0$$

  Matematiksel olarak bir fonksiyonun ortalama değeri bu şekilde hesaplanır ve bu durumda sonuç $0$ olurdu. Ancak, özellikle sinüs ve kosinüs gibi periyodik fonksiyonlar bir tam periyot veya birden fazla tam periyot üzerinde integral alındığında ortalama değerleri $0$ olur. Bazı durumlarda (örneğin elektrik mühendisliğinde AC sinyallerin ortalama değeri hesaplanırken), 'ortalama değer' ifadesi fonksiyonun mutlak değerinin ortalaması olarak yorumlanabilir veya sadece pozitif kısımlarının ortalaması kastedilebilir. Verilen seçenekler ve doğru cevabın C olması, bu sorunun fonksiyonun mutlak değerinin ortalamasını sorduğunu düşündürmektedir.

• 5. Alternatif Yorum: Mutlak Değerin Ortalama Değeri:

  Fonksiyonun mutlak değerinin ortalama değerini hesaplayalım: $f_{ort\_mutlak} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.

  $f(x) = \sin(2x)$ fonksiyonu $[0, \pi]$ aralığında bir tam periyot tamamlar. Bu aralıkta $x \in [0, \pi/2]$ için $\sin(2x) \ge 0$ ve $x \in [\pi/2, \pi]$ için $\sin(2x) \le 0$ olur. Bu nedenle integrali iki parçaya ayırmamız gerekir:

  $$\int_{0}^{\pi} |\sin(2x)| dx = \int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) dx + \int_{\pi/2}^{\pi} (-\sin(2x)) dx$$

• 6. Mutlak Değer İntegralini Hesaplama:

  İlk kısım:

  $$\int_{0}^{\pi/2} \sin(2x) dx = \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{0}^{\pi/2}$$

  $$= \left( -\frac{1}{2}\cos(\pi) \right) - \left( -\frac{1}{2}\cos(0) \right)$$

  $$= \left( -\frac{1}{2}(-1) \right) - \left( -\frac{1}{2}(1) \right)$$

  $$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

  İkinci kısım:

  $$\int_{\pi/2}^{\pi} (-\sin(2x)) dx = -\left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{\pi/2}^{\pi}$$

  $$= -\left[ \left( -\frac{1}{2}\cos(2\pi) \right) - \left( -\frac{1}{2}\cos(\pi) \right) \right]$$

  $$= -\left[ \left( -\frac{1}{2}(1) \right) - \left( -\frac{1}{2}(-1) \right) \right]$$

  $$= -\left[ -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right]$$

  $$= -[-1] = 1$$

  Toplam mutlak değer integrali:

  $$\int_{0}^{\pi} |\sin(2x)| dx = 1 + 1 = 2$$

• 7. Mutlak Değerin Ortalama Değerini Bulma:

  Bulduğumuz integral sonucunu ortalama değer formülünde yerine koyalım:

  $$f_{ort\_mutlak} = \frac{1}{\pi - 0} \cdot 2 = \frac{2}{\pi}$$

Bu sonuç, C seçeneği ile uyumludur.

Cevap C seçeneğidir.