Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün, temel integral alma kurallarını kullanarak bir fonksiyonun belirsiz integralini nasıl hesaplayacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
- Soruyu Anlayalım: Bizden istenen, $f(x) = 2x + 1$ fonksiyonunun belirsiz integralini bulmaktır. Belirsiz integral, türevi verilen fonksiyona eşit olan bir fonksiyon ailesini bulma işlemidir. Yani, hangi fonksiyonun türevi $2x + 1$ olur diye düşünüyoruz.
- Temel İntegral Kurallarını Hatırlayalım:
- Toplam Kuralı: İki fonksiyonun toplamının integrali, integrallerinin toplamına eşittir. Yani, $\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$.
- Kuvvet Kuralı: $x^n$ şeklindeki bir terimin integrali $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ şeklindedir (burada $n \neq -1$).
- Sabit Sayının İntegrali: Bir sabit sayının integrali $\int c dx = cx + C$ şeklindedir.
- Sabit Çarpan Kuralı: Bir fonksiyonun sabit bir çarpanla çarpımının integrali, sabitin integral dışına alınmasıyla bulunur. Yani, $\int c \cdot f(x) dx = c \cdot \int f(x) dx$.
- İntegrali Parçalara Ayıralım: Verilen integral $\int (2x + 1) dx$ şeklindedir. Toplam kuralını kullanarak bu integrali iki ayrı integralin toplamı olarak yazabiliriz:
$\int (2x + 1) dx = \int 2x dx + \int 1 dx$
- Her Bir Parçayı Ayrı Ayrı Hesaplayalım:
- Birinci Kısım: $\int 2x dx$
Sabit çarpan kuralını uygulayarak $2$'yi integral dışına alalım: $2 \int x dx$.
Şimdi $x$ teriminin integralini alalım. $x$ aslında $x^1$ demektir, yani kuvvet kuralında $n=1$ olur. Bu durumda:
$2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_1 = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = x^2 + C_1$
Buradaki $C_1$ ilk integralden gelen keyfi sabittir.
- İkinci Kısım: $\int 1 dx$
Bu, bir sabit sayının integralidir. Sabit sayının integrali kuralına göre:
$1 \cdot x + C_2 = x + C_2$
Buradaki $C_2$ ikinci integralden gelen keyfi sabittir.
- Sonuçları Birleştirelim: Şimdi bulduğumuz iki parçayı toplayalım:
$\int (2x + 1) dx = (x^2 + C_1) + (x + C_2)$
$\int (2x + 1) dx = x^2 + x + (C_1 + C_2)$
Matematikte, $C_1$ ve $C_2$ gibi iki keyfi sabitin toplamı da yine keyfi bir sabit olacağı için, bu toplamı tek bir $C$ harfiyle gösteririz.
Dolayısıyla, integralin sonucu:
$\int (2x + 1) dx = x^2 + x + C$
- Cevabı Kontrol Edelim: Bulduğumuz $x^2 + x + C$ ifadesinin türevini alırsak, $2x + 1$ elde ederiz. Bu da çözümümüzün doğru olduğunu gösterir.
Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz sonuç A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
