Aşağıdaki belirli integralin değerini adım adım hesaplayalım:
$\int_{0}^{1} x^2 dx$
- Adım 1: İntegral Kuralını Hatırlayalım
- Bir $x^n$ fonksiyonunun belirsiz integrali için güç kuralını kullanırız. Bu kural şöyledir: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (burada $n \neq -1$ ve $C$ integral sabitidir).
- Bizim integralimizde $f(x) = x^2$ olduğu için $n=2$'dir.
- Adım 2: Belirsiz İntegrali Bulalım
- $x^2$ fonksiyonunun belirsiz integralini alalım:
- $\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$
- Belirli integral hesaplarken $C$ sabitini kullanmamıza gerek kalmaz, çünkü üst ve alt limitlerde birbirini götürür. Bu yüzden, ilkel fonksiyonumuzu $F(x) = \frac{x^3}{3}$ olarak alabiliriz.
- Adım 3: Belirli İntegrali Hesaplayalım (Newton-Leibniz Formülü)
- Belirli integralin değeri, üst limitin ilkel fonksiyona uygulanmasından, alt limitin ilkel fonksiyona uygulanmasının çıkarılmasıyla bulunur. Bu kurala Newton-Leibniz Formülü denir: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$.
- Bizim integralimizde alt limit $a=0$ ve üst limit $b=1$'dir. İlkel fonksiyonumuz ise $F(x) = \frac{x^3}{3}$'tür.
- Şimdi bu değerleri yerine koyalım:
- Önce üst limiti ($b=1$) ilkel fonksiyonda yerine yazalım: $F(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3}$
- Ardından alt limiti ($a=0$) ilkel fonksiyonda yerine yazalım: $F(0) = \frac{0^3}{3} = 0$
- Adım 4: Sonucu Bulalım
- $F(b) - F(a)$ işlemini yapalım:
- $\int_{0}^{1} x^2 dx = F(1) - F(0) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$
Böylece, $\int_{0}^{1} x^2 dx$ integralinin değerini $\frac{1}{3}$ olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
