6. sınıf matematik bölünebilme kuralları etkinlik / çalışma kağıdı Test 1

Bir otobüsteki yolcu sayısı 3 ile bölündüğünde 2, 4 ile bölündüğünde 3, 5 ile bölündüğünde 4 kalanını vermektedir. Buna göre bu otobüste en az kaç yolcu vardır?

A) 59
B) 60
C) 61
D) 62

Harika bir problemle karşı karşıyayız! Bu tür problemler, sayıların bölünebilirlik özelliklerini ve kalan kavramını anlamamızı sağlar. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözeceğiz.

• Problemi Anlayalım:

  Soruda, otobüsteki yolcu sayısının ($N$) farklı sayılara bölündüğünde belirli kalanlar verdiği belirtiliyor. Bu bilgileri matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz:

  • 3 ile bölündüğünde 2 kalanını veriyor: $N \equiv 2 \pmod{3}$
  • 4 ile bölündüğünde 3 kalanını veriyor: $N \equiv 3 \pmod{4}$
  • 5 ile bölündüğünde 4 kalanını veriyor: $N \equiv 4 \pmod{5}$

  Bizden istenen, bu koşulları sağlayan en az kaç yolcu olduğudur.

• Kalanlardaki Örüntüyü Fark Edelim:

  Şimdi kalanlara ve bölenlere dikkatlice bakalım:

  • Bölen 3, kalan 2. Fark: $3 - 2 = 1$
  • Bölen 4, kalan 3. Fark: $4 - 3 = 1$
  • Bölen 5, kalan 4. Fark: $5 - 4 = 1$

  Gördüğümüz gibi, her durumda bölen ile kalan arasındaki fark 1'dir. Bu çok önemli bir ipucu!

• Sayıya 1 Ekleyelim:

  Eğer yolcu sayısına ($N$) 1 eklersek, yani $N+1$ sayısını düşünürsek ne olur?

  • $N \equiv 2 \pmod{3}$ ise, $N+1 \equiv 2+1 \pmod{3} \Rightarrow N+1 \equiv 3 \pmod{3} \Rightarrow N+1 \equiv 0 \pmod{3}$. Bu, $N+1$ sayısının 3'e tam bölündüğü anlamına gelir.
  • $N \equiv 3 \pmod{4}$ ise, $N+1 \equiv 3+1 \pmod{4} \Rightarrow N+1 \equiv 4 \pmod{4} \Rightarrow N+1 \equiv 0 \pmod{4}$. Bu, $N+1$ sayısının 4'e tam bölündüğü anlamına gelir.
  • $N \equiv 4 \pmod{5}$ ise, $N+1 \equiv 4+1 \pmod{5} \Rightarrow N+1 \equiv 5 \pmod{5} \Rightarrow N+1 \equiv 0 \pmod{5}$. Bu, $N+1$ sayısının 5'e tam bölündüğü anlamına gelir.

  Yani, $N+1$ sayısı hem 3'e, hem 4'e, hem de 5'e tam bölünebilen bir sayıdır.

• En Küçük Ortak Katı (EKOK) Bulalım:

  $N+1$ sayısı 3, 4 ve 5'in ortak bir katı olmalıdır. Bizden en az yolcu sayısı istendiği için, $N+1$ sayısının 3, 4 ve 5'in en küçük ortak katı (EKOK) olması gerekir.

  EKOK(3, 4, 5) değerini bulalım:

  • 3 bir asal sayıdır.
  • 4 = $2^2$
  • 5 bir asal sayıdır.

  Bu sayıların ortak böleni olmadığı için EKOK'ları, bu sayıların çarpımına eşittir:

  EKOK(3, 4, 5) = $3 \times 4 \times 5 = 60$.

  Demek ki, $N+1 = 60$ olmalıdır.

• Yolcu Sayısını Bulalım:

  $N+1 = 60$ ise, yolcu sayısı $N$ şöyledir:

  $N = 60 - 1 = 59$.

  Bu otobüste en az 59 yolcu vardır.

• Cevabı Kontrol Edelim:

  Bulduğumuz 59 sayısını verilen koşullara göre kontrol edelim:

  • 59 sayısı 3'e bölündüğünde: $59 = 3 \times 19 + 2$. Kalan 2. (Doğru)
  • 59 sayısı 4'e bölündüğünde: $59 = 4 \times 14 + 3$. Kalan 3. (Doğru)
  • 59 sayısı 5'e bölündüğünde: $59 = 5 \times 11 + 4$. Kalan 4. (Doğru)

  Tüm koşullar sağlandığına göre cevabımız doğrudur.

Cevap A seçeneğidir.