AYT Matematik 2. Dereceden Denklemler: Pratik Testler ve Formül Özetleri Test 1

$x^2 - 3x + 1 = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ ve $x_2$ dir. Buna göre, $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ ifadesinin değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Sevgili öğrenciler, bu soruda bize bir ikinci dereceden denklem verilmiş ve bu denklemin kökleri cinsinden bir ifadenin değeri soruluyor. Bu tür soruları çözmek için genellikle Vieta Formülleri'ni (Kökler ve Katsayılar Arasındaki İlişkiler) kullanırız. Haydi adım adım çözelim:

• 1. Denklemi Tanımlayalım:

  Verilen denklem $x^2 - 3x + 1 = 0$ şeklindedir. Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde ifade edilir.

  Bu durumda, bizim denklemimiz için katsayılar:

  • $a = 1$ (çünkü $x^2$'nin katsayısı 1'dir)
  • $b = -3$ (çünkü $x$'in katsayısı -3'tür)
  • $c = 1$ (çünkü sabit terim 1'dir)
• 2. Vieta Formüllerini Uygulayalım:

  İkinci dereceden bir denklemin kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise, Vieta Formülleri bize kökler toplamı ve kökler çarpımı hakkında bilgi verir:

  • Kökler Toplamı ($x_1 + x_2$): $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ formülüyle bulunur.
  • Kökler Çarpımı ($x_1 \cdot x_2$): $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ formülüyle bulunur.

  Şimdi bu formülleri kendi denklemimiz için uygulayalım:

  • $x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$
  • $x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{1} = 1$
• 3. İstenen İfadeyi Düzenleyelim:

  Bizden $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ ifadesinin değeri isteniyor. Bu iki kesri toplamak için paydalarını eşitlememiz gerekir. Ortak payda $x_1 \cdot x_2$ olacaktır:

  $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{1 \cdot x_2}{x_1 \cdot x_2} + \frac{1 \cdot x_1}{x_1 \cdot x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 \cdot x_2}$

  Bu ifadeyi $\frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}$ şeklinde yazabiliriz.

• 4. Bulduğumuz Değerleri Yerine Koyalım:

  2. adımda kökler toplamını ($x_1 + x_2 = 3$) ve kökler çarpımını ($x_1 \cdot x_2 = 1$) bulmuştuk. Şimdi bu değerleri düzenlediğimiz ifadeye yerleştirelim:

  $\frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \frac{3}{1} = 3$

Böylece, $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ ifadesinin değeri 3 olarak bulunur.

Cevap C seçeneğidir.