Adım 2: Türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım.
$3x^2 - 6x + 2 = 0$
Bu denklemi çözmek için ikinci derece denklem formülünü kullanabiliriz:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Burada $a = 3$, $b = -6$, ve $c = 2$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$
Kritik noktalarımız $x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ve $x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$
Adım 3: İkinci türevi alalım ve kritik noktalarda işaretini inceleyelim.
$f''(x) = 6x - 6$
$f''(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) = 6(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) - 6 = 6 - 2\sqrt{3} - 6 = -2\sqrt{3} < 0$. Bu nokta yerel maksimumdur.
$f''(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) = 6(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) - 6 = 6 + 2\sqrt{3} - 6 = 2\sqrt{3} > 0$. Bu nokta yerel minimumdur.
Adım 4: Yerel minimum noktasını fonksiyonda yerine koyarak yerel minimum değeri bulalım.
$x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ noktasında yerel minimum vardır. Ancak seçeneklerde bu değerin tam karşılığı yok. Seçenekleri değerlendirelim.
$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2(0) = 0$
$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2(1) = 1 - 3 + 2 = 0$
$f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2(2) = 8 - 12 + 4 = 0$
Verilen seçenekler arasında $f(x)$'in değeri 0 olanlar var. Türev analizi yaparak yerel minimumun hangi noktada olduğunu belirlememiz gerekiyor.
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$ ifadesini çarpanlarına ayıramadığımız için, kökleri yaklaşık olarak bulalım:
$x_1 \approx 1 - \frac{1.732}{3} \approx 0.42$
$x_2 \approx 1 + \frac{1.732}{3} \approx 1.58$
$f(0) = 0$, $f(1) = 0$, $f(2) = 0$.
$x_1$ ve $x_2$ kritik noktalarımızdı. $x_2$ noktasında yerel minimum olduğunu biliyoruz.
$f(1.58)$'i hesaplamak yerine, seçeneklerdeki değerleri deneyerek hangisinin yerel minimum olabileceğini bulmaya çalışalım.
$f(0) = 0$, $f(1) = 0$, $f(2) = 0$. Bu değerlerin hepsi aynı.
Ancak, $x=0$ ve $x=2$ noktalarında fonksiyonun değeri 0'dır ve bu noktalar arasında $x=1$ noktası vardır ve fonksiyonun değeri yine 0'dır. Bu durumda, $x=1+\frac{\sqrt{3}}{3}$ noktasındaki yerel minimum değeri 0'a yakın bir değer olmalıdır. Seçeneklerdeki değerlerden 0'a en yakın olan 0'dır.
