🎓 12. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 4. senaryo meb Test 1 - Ders Notu
Sevgili öğrenciler, bu ders notu, 12. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı sınavınızda karşılaşabileceğiniz "Türev" konusunun temel kavramlarını ve uygulamalarını sade bir dille özetlemektedir. Sınavda başarılı olmak için bu konuları iyi anlamanız çok önemli!
📌 Türev Tanımı ve Geometrik Yorumu
Türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim hızını ifade eder. Geometrik olarak ise, bir fonksiyona belirli bir noktada çizilen teğetin eğimini verir.
- Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x_0$ noktasındaki türevi $f'(x_0)$ ile gösterilir.
- Türevin limit tanımı: $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ şeklindedir.
- Bir fonksiyonun bir noktada türevli olabilmesi için o noktada sürekli olması ve sağdan ve soldan türevlerinin eşit olması gerekir.
💡 İpucu: Türev, günlük hayatta hız, ivme gibi değişim oranlarını hesaplamak için kullanılır. Örneğin, bir aracın anlık hızı, konum fonksiyonunun türevidir.
📌 Türev Alma Kuralları
Farklı fonksiyon türlerinin türevlerini alırken kullanacağımız temel kurallar şunlardır:
- Sabit Fonksiyonun Türevi: $f(x) = c$ ise $f'(x) = 0$. (Örn: $f(x)=5 \implies f'(x)=0$)
- Kuvvet Fonksiyonunun Türevi: $f(x) = x^n$ ise $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$. (Örn: $f(x)=x^3 \implies f'(x)=3x^2$)
- Sabit Sayı Çarpım Kuralı: $f(x) = c \cdot g(x)$ ise $f'(x) = c \cdot g'(x)$. (Örn: $f(x)=4x^2 \implies f'(x)=8x$)
- Toplam ve Fark Kuralı: $(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$.
- Çarpım Kuralı: $(f(x) \cdot g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.
- Bölüm Kuralı: $ (\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} $ ($g(x) \neq 0$ olmak üzere).
- Zincir Kuralı (Bileşke Fonksiyonun Türevi): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. (Örn: $f(x)=(2x+1)^3 \implies f'(x)=3(2x+1)^2 \cdot 2$)
- Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri:
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
- $(\tan x)' = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x$
- $(\cot x)' = -\csc^2 x = -(1 + \cot^2 x)$
- Üstel Fonksiyonların Türevleri:
- $(e^x)' = e^x$
- $(a^x)' = a^x \cdot \ln a$
- Logaritmik Fonksiyonların Türevleri:
- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
- $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
⚠️ Dikkat: Zincir kuralını uygularken iç fonksiyonun türevini almayı unutmak sık yapılan bir hatadır. Özellikle bileşke fonksiyonlarda buna dikkat edin.
📌 Türevin Uygulamaları
Türev, fonksiyonların davranışlarını (artan/azalan olma, maksimum/minimum değerler) incelemek ve teğet denklemlerini bulmak için kullanılır.
📝 Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Bir fonksiyonun artan veya azalan olduğu aralıkları türev yardımıyla bulabiliriz.
- Bir fonksiyonun türevi $f'(x) > 0$ ise, o aralıkta fonksiyon artandır.
- Bir fonksiyonun türevi $f'(x) < 0$ ise, o aralıkta fonksiyon azalandır.
- Bir fonksiyonun türevi $f'(x) = 0$ ise, o noktada fonksiyonun ekstremum (maksimum veya minimum) noktası adayı vardır.
📝 Yerel Ekstremum Noktaları (Maksimum ve Minimum)
Bir fonksiyonun yerel maksimum veya yerel minimum değerlerini aldığı noktalara ekstremum noktaları denir.
- Ekstremum noktalarını bulmak için fonksiyonun türevi sıfıra eşitlenir ($f'(x) = 0$).
- Bulunan kritik noktalarda türevin işaret değiştirmesi gerekir. Türev pozitiften negatife geçiyorsa yerel maksimum, negatiften pozitife geçiyorsa yerel minimum vardır.
💡 İpucu: Bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulma (optimizasyon) problemlerinde, genellikle fonksiyonun türevi alınıp sıfıra eşitlenerek kritik noktalar bulunur.
📝 Teğet ve Normal Denklemi
Bir fonksiyona belirli bir noktadan çizilen teğetin ve normalin (teğete dik olan doğru) denklemini türev yardımıyla bulabiliriz.
- $y=f(x)$ fonksiyonuna $x_0$ noktasında çizilen teğetin eğimi $m_{teğet} = f'(x_0)$'dır.
- Teğet denklemi: $y - y_0 = m_{teğet}(x - x_0)$ formülüyle bulunur, burada $(x_0, y_0)$ teğetin değme noktasıdır.
- Normalin eğimi $m_{normal} = -\frac{1}{m_{teğet}}$'dir (çünkü teğet ve normal birbirine diktir).
- Normal denklemi: $y - y_0 = m_{normal}(x - x_0)$ formülüyle bulunur.
⚠️ Dikkat: Teğet denklemini bulurken, $y_0$ değerinin $f(x_0)$'a eşit olduğunu, yani fonksiyonun o noktadaki değerini kullandığınızdan emin olun.
Başarılar dilerim! 🚀
