Bu soruyu çözmek için, trigonometrik denklemleri ve birim çember üzerindeki açıların tanjant değerlerini hatırlamamız gerekiyor.
- Öncelikle, bize verilen denklem $\tan(x) = 1$ şeklindedir. Bu, hangi açının tanjantının $1$ olduğunu bulmamız gerektiği anlamına gelir.
- Tanjant fonksiyonunun tanımını hatırlayalım: $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Dolayısıyla, $\tan(x) = 1$ olması için $\sin(x)$ ve $\cos(x)$ değerlerinin birbirine eşit ve aynı işaretli olması gerekir.
- Birim çemberde veya özel üçgenlerde, $\sin(x)$ ve $\cos(x)$ değerlerinin eşit olduğu bilinen bir açı vardır. Bu açı $\frac{\pi}{4}$ (veya $45^\circ$) açısıdır.
- $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ve $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ olduğundan, $\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$ olur.
- Şimdi çözüm aralığına bakalım. Soru bizden denklemin $[0, \pi]$ aralığındaki çözümünü istiyor. Bu aralık, birim çemberin ilk iki çeyreğini kapsar.
- Birinci çeyrekte ($0 < x < \frac{\pi}{2}$), hem $\sin(x)$ hem de $\cos(x)$ pozitif olduğu için $\tan(x)$ de pozitiftir. Bulduğumuz $x = \frac{\pi}{4}$ açısı bu aralıktadır ve $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ koşulunu sağlar.
- İkinci çeyrekte ($\frac{\pi}{2} < x < \pi$), $\sin(x)$ pozitif iken $\cos(x)$ negatiftir. Bu durumda $\tan(x) = \frac{\text{pozitif}}{\text{negatif}}$ olacağından, $\tan(x)$ negatif bir değer alır. Dolayısıyla, ikinci çeyrekte $\tan(x) = 1$ denklemini sağlayan bir çözüm bulunmaz.
- Bu durumda, $[0, \pi]$ aralığında $\tan(x) = 1$ denklemini sağlayan tek çözüm $x = \frac{\pi}{4}$'tür.
Cevap B seçeneğidir.
