$\sin(\frac{\pi}{2} - x)$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) $\sin(x)$Bu soruda, $\sin(\frac{\pi}{2} - x)$ ifadesinin neye eşit olduğunu bulmamız isteniyor. Bu tür trigonometrik ifadeleri sadeleştirmek için temel trigonometrik özdeşlikleri kullanırız. Bu soruyu çözmek için iki ana yaklaşımımız var:
Trigonometride çok önemli bir özdeşlik vardır: Bir açının sinüsü, o açının tümlerinin kosinüsüne eşittir. Tümler açılar, toplamları $90^\circ$ (veya radyan cinsinden $\frac{\pi}{2}$) olan açılardır.
Bu özdeşlik şu şekildedir: $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$ veya radyan cinsinden $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$.
Bu özdeşlik doğrudan sorumuzun cevabını vermektedir.
Eğer tümler açı özdeşliğini hatırlamıyorsak veya bu özdeşliğin nereden geldiğini anlamak istersek, sinüs fark formülünü kullanabiliriz. Sinüs fark formülü şöyledir:
$\sin(A - B) = \sin(A)\cos(B) - \cos(A)\sin(B)$
Bu formülde $A = \frac{\pi}{2}$ ve $B = x$ alalım.
İfadeyi yerine yazarsak: $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(\frac{\pi}{2})\cos(x) - \cos(\frac{\pi}{2})\sin(x)$
Şimdi $\sin(\frac{\pi}{2})$ ve $\cos(\frac{\pi}{2})$ değerlerini hatırlayalım:
$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ (Birim çemberde $90^\circ$ açının bitim noktasının y-koordinatı $1$'dir.)
$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ (Birim çemberde $90^\circ$ açının bitim noktasının x-koordinatı $0$'dır.)
Bu değerleri formülde yerine koyarsak:
$\sin(\frac{\pi}{2} - x) = (1)\cos(x) - (0)\sin(x)$
$\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x) - 0$
$\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)$
Her iki yöntem de bize aynı sonucu vermektedir: $\sin(\frac{\pi}{2} - x)$ ifadesi $\cos(x)$'e eşittir.
Cevap B seçeneğidir.
