Bu soruyu çözmek için, ters sinüs fonksiyonu olan $\arcsin$ fonksiyonunun ne anlama geldiğini ve özel açıların sinüs değerlerini hatırlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
- $\arcsin(x)$ Fonksiyonunun Anlamı: $\arcsin(x)$ ifadesi, sinüs değeri $x$ olan açıyı temsil eder. Yani, eğer $\theta = \arcsin(x)$ ise, bu $\sin(\theta) = x$ anlamına gelir. Ayrıca, $\arcsin$ fonksiyonunun tanım gereği, bulduğumuz $\theta$ açısı $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ (veya derece cinsinden $[-90^\circ, 90^\circ]$) aralığında olmalıdır. Bu aralık, her $x$ değeri için tek bir $\theta$ açısı olmasını sağlar.
- Soruyu Denkleme Dönüştürme: Bize $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$ değeri soruluyor. Bu ifadeyi bir açıya eşitleyelim:
$\theta = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$
Bu eşitlik, $\sin(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ anlamına gelir. Şimdi, sinüsü $\frac{\sqrt{3}}{2}$ olan açıyı bulmalıyız.
- Hangi Açının Sinüsü $\frac{\sqrt{3}}{2}$'dir?: Şimdi düşünmemiz gereken şey, hangi açının sinüs değerinin $\frac{\sqrt{3}}{2}$ olduğudur. Trigonometrideki özel açılarımızı hatırlayalım. Örneğin, $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ve $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$'dir. Bu değerlere baktığımızda, $60^\circ$ derecelik açının sinüs değerinin $\frac{\sqrt{3}}{2}$ olduğunu görürüz.
- Radyan Cinsinden İfade Etme: Seçenekler radyan cinsinden verildiği için, $60^\circ$ derecelik açıyı radyan cinsinden ifade etmeliyiz. $180^\circ = \pi$ radyan olduğu bilgisini kullanarak dönüşüm yapabiliriz:
$60^\circ = \frac{180^\circ}{3} = \frac{\pi}{3}$ radyan.
- Tanım Aralığı Kontrolü: Bulduğumuz $\theta = \frac{\pi}{3}$ açısı, $\arcsin$ fonksiyonunun tanım aralığı olan $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ aralığında mıdır? Evet, $\frac{\pi}{3}$ (yani $60^\circ$) bu aralıkta yer alır. Bu, bulduğumuz değerin doğru olduğunu teyit eder.
Bu adımları takip ettiğimizde, $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$ değerinin $\frac{\pi}{3}$ olduğunu buluruz.
Cevap C seçeneğidir.
