Mantık bağlaçları 9. sınıf Test 1

Aşağıdaki önermelerden hangisi totolojidir?

A) p ∧ ¬p
B) p ∨ ¬p
C) p ⇒ q
D) p ∧ q

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, mantıkta çok önemli bir kavram olan "totoloji"yi anlamamız ve hangi önermenin totoloji olduğunu bulmamız isteniyor. Haydi, adım adım ilerleyelim:

• Totoloji Nedir?

  Bir önermenin totoloji olması demek, o önermenin içerdiği basit önermelerin (burada $p$ ve $q$) doğruluk değerleri ne olursa olsun, bileşik önermenin sonucunun her zaman doğru (True) olması demektir. Yani, her koşulda doğru olan bir ifadedir.

• Seçenekleri İnceleyelim:

  Her bir seçeneği, $p$ ve $q$ önermelerinin alabileceği tüm doğruluk değerleri (Doğru (D) veya Yanlış (Y)) için ayrı ayrı değerlendirelim.

  • A) $p \land \neg p$

    Bu önerme, "$p$ ve $p$'nin değili" anlamına gelir. Bir önerme hem doğru hem de yanlış olamaz. İnceleyelim:

    • Eğer $p$ doğru ise, $\neg p$ yanlıştır. O zaman $D \land Y = Y$ (Yanlış).
    • Eğer $p$ yanlış ise, $\neg p$ doğrudur. O zaman $Y \land D = Y$ (Yanlış).

    Gördüğümüz gibi, bu önerme her zaman yanlıştır. Bu tür önermelere "çelişki" denir. Dolayısıyla totoloji değildir.

  • B) $p \lor \neg p$

    Bu önerme, "$p$ veya $p$'nin değili" anlamına gelir. Bir önerme ya doğrudur ya da yanlıştır; üçüncü bir ihtimal yoktur. İnceleyelim:

    • Eğer $p$ doğru ise, $\neg p$ yanlıştır. O zaman $D \lor Y = D$ (Doğru).
    • Eğer $p$ yanlış ise, $\neg p$ doğrudur. O zaman $Y \lor D = D$ (Doğru).

    Bu önerme her zaman doğrudur. İşte bu bir totolojidir!

  • C) $p \Rightarrow q$

    Bu önerme, "$p$ ise $q$" anlamına gelir. Bu bir koşullu önermedir ve her zaman doğru değildir. İnceleyelim:

    • Eğer $p$ doğru ve $q$ doğru ise, $D \Rightarrow D = D$.
    • Eğer $p$ doğru ve $q$ yanlış ise, $D \Rightarrow Y = Y$.
    • Eğer $p$ yanlış ve $q$ doğru ise, $Y \Rightarrow D = D$.
    • Eğer $p$ yanlış ve $q$ yanlış ise, $Y \Rightarrow Y = D$.

    Gördüğümüz gibi, $p$ doğru iken $q$ yanlış olduğunda önerme yanlış olur. Bu nedenle totoloji değildir.

  • D) $p \land q$

    Bu önerme, "$p$ ve $q$" anlamına gelir. Bu önermenin doğru olabilmesi için hem $p$'nin hem de $q$'nun doğru olması gerekir. İnceleyelim:

    • Eğer $p$ doğru ve $q$ doğru ise, $D \land D = D$.
    • Eğer $p$ doğru ve $q$ yanlış ise, $D \land Y = Y$.
    • Eğer $p$ yanlış ve $q$ doğru ise, $Y \land D = Y$.
    • Eğer $p$ yanlış ve $q$ yanlış ise, $Y \land Y = Y$.

    Bu önerme sadece bir durumda doğru, diğer durumlarda yanlıştır. Bu nedenle totoloji değildir.

• Sonuç:

  Yaptığımız incelemeler sonucunda, sadece $p \lor \neg p$ önermesinin her durumda doğru olduğunu gördük. Bu da onun bir totoloji olduğu anlamına gelir.

Cevap B seçeneğidir.