Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, "p ancak ve ancak q" ($p \iff q$) bileşik önermesine denk olan ifadeleri bulmamız isteniyor. İki önermenin denk olması demek, her durumda aynı doğruluk değerine sahip olmaları demektir. Bunu anlamanın en kolay yolu, her bir önermenin doğruluk tablosunu oluşturmak ve karşılaştırmaktır.
Öncelikle, hedef önermemiz olan $p \iff q$ önermesinin doğruluk tablosunu hatırlayalım:
- $p$ doğru (D) ve $q$ doğru (D) ise, $p \iff q$ doğrudur (D).
- $p$ doğru (D) ve $q$ yanlış (Y) ise, $p \iff q$ yanlıştır (Y).
- $p$ yanlış (Y) ve $q$ doğru (D) ise, $p \iff q$ yanlıştır (Y).
- $p$ yanlış (Y) ve $q$ yanlış (Y) ise, $p \iff q$ doğrudur (D).
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
A) $(p \Rightarrow q) \lor (q \Rightarrow p)$
Bu önermenin doğruluk değerlerini bulalım:
- $p$ doğru, $q$ doğru ise: $p \Rightarrow q$ (D $\Rightarrow$ D) doğrudur. $q \Rightarrow p$ (D $\Rightarrow$ D) doğrudur. Bu durumda $(p \Rightarrow q) \lor (q \Rightarrow p)$ (D $\lor$ D) doğrudur.
- $p$ doğru, $q$ yanlış ise: $p \Rightarrow q$ (D $\Rightarrow$ Y) yanlıştır. $q \Rightarrow p$ (Y $\Rightarrow$ D) doğrudur. Bu durumda $(p \Rightarrow q) \lor (q \Rightarrow p)$ (Y $\lor$ D) doğrudur.
- $p$ yanlış, $q$ doğru ise: $p \Rightarrow q$ (Y $\Rightarrow$ D) doğrudur. $q \Rightarrow p$ (D $\Rightarrow$ Y) yanlıştır. Bu durumda $(p \Rightarrow q) \lor (q \Rightarrow p)$ (D $\lor$ Y) doğrudur.
- $p$ yanlış, $q$ yanlış ise: $p \Rightarrow q$ (Y $\Rightarrow$ Y) doğrudur. $q \Rightarrow p$ (Y $\Rightarrow$ Y) doğrudur. Bu durumda $(p \Rightarrow q) \lor (q \Rightarrow p)$ (D $\lor$ D) doğrudur.
Gördüğümüz gibi, bu önerme her durumda doğrudur (bir totolojidir). $p \iff q$ önermesi her zaman doğru olmadığı için, bu önerme $p \iff q$ önermesine denk değildir.
B) $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$
Bu önerme, "p ancak ve ancak q" önermesinin en yaygın ve temel tanımlarından biridir. Doğruluk değerlerini inceleyelim:
- $p$ doğru, $q$ doğru ise: $p \Rightarrow q$ (D $\Rightarrow$ D) doğrudur. $q \Rightarrow p$ (D $\Rightarrow$ D) doğrudur. Bu durumda $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$ (D $\land$ D) doğrudur.
- $p$ doğru, $q$ yanlış ise: $p \Rightarrow q$ (D $\Rightarrow$ Y) yanlıştır. $q \Rightarrow p$ (Y $\Rightarrow$ D) doğrudur. Bu durumda $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$ (Y $\land$ D) yanlıştır.
- $p$ yanlış, $q$ doğru ise: $p \Rightarrow q$ (Y $\Rightarrow$ D) doğrudur. $q \Rightarrow p$ (D $\Rightarrow$ Y) yanlıştır. Bu durumda $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$ (D $\land$ Y) yanlıştır.
- $p$ yanlış, $q$ yanlış ise: $p \Rightarrow q$ (Y $\Rightarrow$ Y) doğrudur. $q \Rightarrow p$ (Y $\Rightarrow$ Y) doğrudur. Bu durumda $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$ (D $\land$ D) doğrudur.
Bu önermenin doğruluk değerleri ($D, Y, Y, D$), $p \iff q$ önermesinin doğruluk değerleriyle tamamen aynıdır. Dolayısıyla, Seçenek B, $p \iff q$ önermesine denktir.
C) $(p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)$
Bu önerme, "hem $p$ hem $q$ doğru" VEYA "hem $p$ hem $q$ yanlış" anlamına gelir. Bu ifade, $p$ ile $q$'nun aynı doğruluk değerine sahip olması durumunu açıklar ki bu da $p \iff q$ önermesinin tanımıdır. Doğruluk değerlerini inceleyelim:
- $p$ doğru, $q$ doğru ise: $p \land q$ (D $\land$ D) doğrudur. $\neg p$ yanlış, $\neg q$ yanlış, dolayısıyla $\neg p \land \neg q$ (Y $\land$ Y) yanlıştır. Bu durumda $(p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)$ (D $\lor$ Y) doğrudur.
- $p$ doğru, $q$ yanlış ise: $p \land q$ (D $\land$ Y) yanlıştır. $\neg p$ yanlış, $\neg q$ doğru, dolayısıyla $\neg p \land \neg q$ (Y $\land$ D) yanlıştır. Bu durumda $(p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)$ (Y $\lor$ Y) yanlıştır.
- $p$ yanlış, $q$ doğru ise: $p \land q$ (Y $\land$ D) yanlıştır. $\neg p$ doğru, $\neg q$ yanlış, dolayısıyla $\neg p \land \neg q$ (D $\land$ Y) yanlıştır. Bu durumda $(p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)$ (Y $\lor$ Y) yanlıştır.
- $p$ yanlış, $q$ yanlış ise: $p \land q$ (Y $\land$ Y) yanlıştır. $\neg p$ doğru, $\neg q$ doğru, dolayısıyla $\neg p \land \neg q$ (D $\land$ D) doğrudur. Bu durumda $(p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)$ (Y $\lor$ D) doğrudur.
Bu önermenin doğruluk değerleri de ($D, Y, Y, D$), $p \iff q$ önermesinin doğruluk değerleriyle tamamen aynıdır. Dolayısıyla, Seçenek C, $p \iff q$ önermesine denktir.
Sonuç
Yaptığımız incelemeler sonucunda, hem B seçeneğindeki $(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)$ önermesinin hem de C seçeneğindeki $(p \land q) \lor (\neg p \land \neg q)$ önermesinin $p \iff q$ önermesine denk olduğunu gördük.
Cevap D seçeneğidir.
