Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, belirli integral konusundaki bilgimizi pekiştirecek güzel bir soru çözeceğiz. Sorumuz, $\int_0^{\pi/2} \sin(2x) dx$ integralinin değerini bulmakla ilgili.
Bu tür bir integrali çözmek için iki ana adımımız var:
- Öncelikle, integralin belirsiz halini (yani antiderivatifini) bulacağız.
- Ardından, belirli integralin sınırlarını (üst ve alt limitleri) kullanarak değeri hesaplayacağız.
Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:
- Adım 1: Belirsiz integrali bulalım.
- $\int \sin(2x) dx$ integralini hesaplamamız gerekiyor. Bu tür integrallerde genellikle 'u-substitüsyonu' (yerine koyma) yöntemini kullanırız.
- $u = 2x$ diyelim.
- Bu durumda, $du = 2 dx$ olur. Yani, $dx = \frac{1}{2} du$ şeklinde yazabiliriz.
- Şimdi integralimizi $u$ cinsinden yeniden yazalım:
- $\int \sin(u) \left(\frac{1}{2} du\right) = \frac{1}{2} \int \sin(u) du$
- $\sin(u)$'nun integrali $-\cos(u)$'dur. O halde:
- $\frac{1}{2} (-\cos(u)) + C = -\frac{1}{2} \cos(u) + C$
- Şimdi $u$ yerine tekrar $2x$ yazalım:
- Belirsiz integralimiz $F(x) = -\frac{1}{2} \cos(2x)$ olarak bulunur. (Sabit $C$ belirli integralde birbirini götüreceği için şimdilik yazmıyoruz.)
- Adım 2: Belirli integralin değerini hesaplayalım.
- Belirli integralin değeri, $F(b) - F(a)$ formülüyle bulunur. Burada $b$ üst limit, $a$ ise alt limittir.
- Bizim integralimizde üst limit $b = \frac{\pi}{2}$ ve alt limit $a = 0$'dır.
- $F\left(\frac{\pi}{2}\right)$ değerini hesaplayalım:
- $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2} \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2} \cos(\pi)$
- Kosinüs fonksiyonunun değerlerini hatırlayalım: $\cos(\pi) = -1$.
- O halde, $F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{1}{2} (-1) = \frac{1}{2}$.
- Şimdi de $F(0)$ değerini hesaplayalım:
- $F(0) = -\frac{1}{2} \cos(2 \cdot 0) = -\frac{1}{2} \cos(0)$
- $\cos(0) = 1$ olduğunu biliyoruz.
- O halde, $F(0) = -\frac{1}{2} (1) = -\frac{1}{2}$.
- Son olarak, $F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0)$ işlemini yapalım:
- $\int_0^{\pi/2} \sin(2x) dx = F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)$
- $\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Böylece integralin değerini $1$ olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
