Sevgili öğrenciler, bu soruda bizden irrasyonel bir sayıyı bulmamız isteniyor. Öncelikle rasyonel ve irrasyonel sayıların ne olduğunu hatırlayalım:
- Rasyonel Sayılar: $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Ondalık gösterimleri ya sonludur ya da tekrar eden bir örüntüye sahiptir. Örneğin, $2$, $0.5$, $\frac{1}{3}$ (yani $0.333...$) rasyonel sayılardır. Kök dışına tam olarak çıkabilen sayılar (yani tam kare sayıların karekökleri) rasyoneldir.
- İrrasyonel Sayılar: Rasyonel olmayan sayılardır. Yani $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan sayılardır. Ondalık gösterimleri sonsuz ve tekrar etmeyen bir yapıya sahiptir. Örneğin, $\pi$ (pi sayısı) veya $\sqrt{2}$ irrasyonel sayılardır. Kök dışına tam olarak çıkamayan pozitif tam sayıların karekökleri irrasyoneldir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $\sqrt{4}$: Bu ifade, hangi pozitif sayının karesinin $4$ olduğunu sorar. $2 \times 2 = 4$ olduğu için $\sqrt{4} = 2$'dir. $2$ bir tam sayıdır ve $\frac{2}{1}$ şeklinde yazılabilir. Bu nedenle $2$ bir rasyonel sayıdır.
- B) $\sqrt{9}$: Bu ifade, hangi pozitif sayının karesinin $9$ olduğunu sorar. $3 \times 3 = 9$ olduğu için $\sqrt{9} = 3$'tür. $3$ bir tam sayıdır ve $\frac{3}{1}$ şeklinde yazılabilir. Bu nedenle $3$ bir rasyonel sayıdır.
- C) $\sqrt{16}$: Bu ifade, hangi pozitif sayının karesinin $16$ olduğunu sorar. $4 \times 4 = 16$ olduğu için $\sqrt{16} = 4$'tür. $4$ bir tam sayıdır ve $\frac{4}{1}$ şeklinde yazılabilir. Bu nedenle $4$ bir rasyonel sayıdır.
- D) $\sqrt{5}$: Bu ifade, hangi pozitif sayının karesinin $5$ olduğunu sorar. $5$ bir tam kare sayı değildir (yani hiçbir tam sayının kendisiyle çarpımı $5$ etmez). $\sqrt{5}$'in değeri yaklaşık olarak $2.2360679...$ şeklinde devam eden, tekrar etmeyen ve sonlanmayan bir ondalık sayıdır. Bu sayı $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılamaz. Bu nedenle $\sqrt{5}$ bir irrasyonel sayıdır.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, seçenekler arasında sadece $\sqrt{5}$'in kök dışına tam olarak çıkamadığını ve dolayısıyla bir irrasyonel sayı olduğunu görüyoruz.
Cevap D seçeneğidir.
