Bir örüntünün ilk birkaç terimi şöyledir: 1, 3, 6, 10, 15, ...
Bu örüntünün n. terimini veren kural aşağıdakilerden hangisidir?
A) n(n+1)/2
B) n(n-1)/2
C) n²
D) 2n-1
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bize verilen bir sayı örüntüsünün genel kuralını bulmamız isteniyor. Örüntüleri anlamak ve kurallarını keşfetmek, matematikte çok eğlenceli ve önemli bir beceridir. Şimdi adım adım bu örüntüyü inceleyelim ve doğru kuralı birlikte bulalım.
- Adım 1: Örüntüyü ve Terimlerini Anlayalım
- Bize verilen örüntü şöyledir: $1, 3, 6, 10, 15, ...$
- Bu terimlerin sırasını (yani $n$ değerini) ve karşılık gelen terimi ($a_n$) not edelim:
- $n=1$ (1. terim): $a_1 = 1$
- $n=2$ (2. terim): $a_2 = 3$
- $n=3$ (3. terim): $a_3 = 6$
- $n=4$ (4. terim): $a_4 = 10$
- $n=5$ (5. terim): $a_5 = 15$
- Adım 2: Terimler Arasındaki İlişkiyi İnceleyelim
- Terimler arasındaki farklara bakalım:
- $3 - 1 = 2$
- $6 - 3 = 3$
- $10 - 6 = 4$
- $15 - 10 = 5$
- Gördüğümüz gibi, terimler arasındaki farklar sırasıyla $2, 3, 4, 5, ...$ şeklinde artmaktadır. Bu tür örüntüler "üçgensel sayılar" olarak bilinir ve genellikle $n$ ve $n+1$ ifadelerini içeren bir formülle ifade edilir.
- Adım 3: Seçenekleri Tek Tek Deneyelim
- Şimdi, verilen seçeneklerdeki kuralları kullanarak her bir $n$ değeri için terimleri hesaplayalım ve örüntümüzdeki terimlerle karşılaştıralım.
- A) $n(n+1)/2$
- $n=1$ için: $1(1+1)/2 = 1(2)/2 = 1$ (Doğru)
- $n=2$ için: $2(2+1)/2 = 2(3)/2 = 3$ (Doğru)
- $n=3$ için: $3(3+1)/2 = 3(4)/2 = 6$ (Doğru)
- $n=4$ için: $4(4+1)/2 = 4(5)/2 = 10$ (Doğru)
- $n=5$ için: $5(5+1)/2 = 5(6)/2 = 15$ (Doğru)
- Bu kural, örüntümüzdeki tüm terimleri doğru bir şekilde vermektedir. Bu, doğru cevabın A seçeneği olduğunu gösteriyor. Diğer seçenekleri de kontrol edelim.
- B) $n(n-1)/2$
- $n=1$ için: $1(1-1)/2 = 1(0)/2 = 0$ (Yanlış, ilk terim $1$ olmalıydı)
- Bu seçenek doğru olamaz.
- C) $n^2$
- $n=1$ için: $1^2 = 1$ (Doğru)
- $n=2$ için: $2^2 = 4$ (Yanlış, ikinci terim $3$ olmalıydı)
- Bu seçenek doğru olamaz.
- D) $2n-1$
- $n=1$ için: $2(1)-1 = 1$ (Doğru)
- $n=2$ için: $2(2)-1 = 3$ (Doğru)
- $n=3$ için: $2(3)-1 = 5$ (Yanlış, üçüncü terim $6$ olmalıydı)
- Bu seçenek de doğru olamaz.
- Adım 4: Sonuç
- Yaptığımız kontroller sonucunda, sadece A seçeneğindeki $n(n+1)/2$ kuralının örüntünün tüm terimlerini doğru bir şekilde verdiğini gördük.
Cevap A seçeneğidir.
