\( 3^{x} + 3^{x} + 3^{x} = 81 \) olduğuna göre x kaçtır?
A) 2Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek üslü sayılar konusundaki bilgimizi pekiştirelim.
Denklemimiz $3^{x} + 3^{x} + 3^{x} = 81$ şeklindedir. Sol tarafta aynı terimi ($3^{x}$) üç kez topladığımızı görüyoruz. Bir sayıyı kendisiyle birden fazla kez toplamak, o sayıyı toplama sayısıyla çarpmak demektir. Yani, $A + A + A = 3 \cdot A$ olduğu gibi, $3^{x} + 3^{x} + 3^{x}$ ifadesini $3 \cdot 3^{x}$ olarak yazabiliriz.
Böylece denklemimiz şu hale gelir: $3 \cdot 3^{x} = 81$.
Şimdi denklemin sağ tarafındaki $81$ sayısını, sol taraftaki taban olan $3$'ün bir kuvveti şeklinde yazmaya çalışalım. $3$'ün kuvvetlerini hatırlayalım: $3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$, $3^4 = 81$.
Gördüğümüz gibi, $81$ sayısı $3^4$'e eşittir.
Denklemimiz şimdi şöyle oldu: $3 \cdot 3^{x} = 3^4$.
Denklemin sol tarafında $3 \cdot 3^{x}$ ifadesi var. Bu ifadeyi $3^1 \cdot 3^{x}$ olarak düşünebiliriz. Üslü sayılarda tabanlar aynı olduğunda çarpma işlemi yaparken üsler toplanır. Yani, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ kuralını kullanacağız.
Bu kurala göre, $3^1 \cdot 3^{x} = 3^{1+x}$ olur.
Şimdi denklemimiz şu şekli aldı: $3^{1+x} = 3^4$.
Eğer iki üslü ifade birbirine eşitse ve tabanları da aynıysa (bizim durumumuzda her iki tarafın tabanı da $3$), o zaman üsleri de birbirine eşit olmak zorundadır.
Yani, $1+x = 4$ eşitliğini yazabiliriz.
Şimdi $x$'i bulmak için basit bir denklem çözümü yapalım. Eşitliğin her iki tarafından $1$ çıkaralım:
$x = 4 - 1$
$x = 3$
Böylece $x$ değerini $3$ olarak bulmuş olduk.
Cevap B seçeneğidir.
