P(x) = $x^4 + x^2 + 1$ polinomunun çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) $x^2 + x + 1$Verilen polinom $P(x) = x^4 + x^2 + 1$ şeklindedir. Bu tür polinomları çarpanlarına ayırmak için genellikle "tam kareye tamamlama" veya "iki kare farkı" özdeşliklerinden faydalanırız.
Polinomu daha kolay çarpanlara ayırabilmek için ifadeyi iki kare farkı özdeşliğine ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$) uygun hale getirmeye çalışalım. Bunun için $x^4 + x^2 + 1$ ifadesini $(x^2)^2 + x^2 + 1^2$ olarak düşünebiliriz.
Eğer ifade $(x^2 + 1)^2$ olsaydı, bu $x^4 + 2x^2 + 1$ olurdu. Bizim polinomumuzda ise $x^2$ terimi var. Bu durumda, $x^2$ terimini $2x^2 - x^2$ şeklinde yazarak ifadeyi tam kareye tamamlayabiliriz:
$P(x) = x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$
Şimdi ilk üç terim bir tam kare ifade oluşturuyor:
$x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2$
Bu durumda polinomu yeniden yazarsak:
$P(x) = (x^2 + 1)^2 - x^2$
Bu ifade, $a^2 - b^2$ şeklinde bir iki kare farkıdır. Burada $a = x^2 + 1$ ve $b = x$ olarak düşünebiliriz.
İki kare farkı özdeşliğini uygulayarak çarpanlarına ayıralım:
$P(x) = ((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x)$
Çarpanları düzenlersek:
$P(x) = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$
Bulduğumuz çarpanlar $x^2 - x + 1$ ve $x^2 + x + 1$ şeklindedir. Seçeneklere baktığımızda, A seçeneğinde $x^2 + x + 1$ ifadesinin bulunduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
