Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir polinomun köklerinden biri verildiğinde diğer köklerini nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Polinomumuz $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ ve köklerinden birinin $x = -1$ olduğu belirtilmiş.
- Adım 1: Polinomun Bir Çarpanını Bulma
- Bir polinomun köklerinden biri $x = a$ ise, o zaman $(x - a)$ ifadesi bu polinomun bir çarpanıdır. Soruda bize $x = -1$ bir kök olarak verildiğine göre, $(x - (-1))$ yani $(x + 1)$ ifadesi $P(x)$ polinomunun bir çarpanıdır. Bu, $P(x)$ polinomunun $(x + 1)$'e tam bölüneceği anlamına gelir.
- Adım 2: Polinom Bölmesi Yapma
- $P(x)$ polinomunu $(x + 1)$ çarpanına bölerek derecesi daha düşük bir polinom elde edeceğiz. Bu işlemi sentetik bölme (Ruffini kuralı) ile kolayca yapabiliriz.
- Polinomun katsayıları sırasıyla $1$ ( $x^3$ için), $2$ ( $x^2$ için), $-5$ ( $x$ için) ve $-6$ (sabit terim) şeklindedir. Bölme yapacağımız kök ise $-1$'dir.
- Sentetik bölme şu şekilde yapılır:
- İlk katsayıyı (yani $1$'i) aşağı indiririz.
- Aşağı indirdiğimiz sayıyı kök ile çarparız ($1 \times (-1) = -1$).
- Çarpım sonucunu bir sonraki katsayının altına yazarız ($2$ altına $-1$).
- Bu iki sayıyı toplarız ($2 + (-1) = 1$).
- Yeni toplamı tekrar kök ile çarparız ($1 \times (-1) = -1$).
- Çarpım sonucunu bir sonraki katsayının altına yazarız ($-5$ altına $-1$).
- Bu iki sayıyı toplarız ($-5 + (-1) = -6$).
- Yeni toplamı tekrar kök ile çarparız ($-6 \times (-1) = 6$).
- Çarpım sonucunu son katsayının altına yazarız ($-6$ altına $6$).
- Bu iki sayıyı toplarız ($-6 + 6 = 0$).
- Sonuç olarak elde ettiğimiz sayılar $1, 1, -6$ ve $0$ (kalan). Kalan $0$ olduğu için bölme işlemi tamdır ve $x = -1$ gerçekten bir köktür.
- Bölüm polinomunun katsayıları $1, 1, -6$'dır. Bu da bize $x^2 + x - 6$ polinomunu verir.
- Adım 3: İkinci Dereceden Polinomun Köklerini Bulma
- Şimdi $x^2 + x - 6 = 0$ denkleminin köklerini bulmamız gerekiyor. Bu bir ikinci dereceden denklemdir ve çarpanlara ayırma yöntemiyle çözebiliriz.
- Çarpımları $-6$ ve toplamları $1$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $3$ ve $-2$'dir.
- Yani, $x^2 + x - 6$ ifadesini $(x + 3)(x - 2)$ şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz.
- Şimdi her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek kökleri bulalım:
- $x + 3 = 0 \implies x = -3$
- $x - 2 = 0 \implies x = 2$
- Adım 4: Tüm Kökleri Belirleme
- Başlangıçta verilen kök $x = -1$'di. Yaptığımız işlemler sonucunda bulduğumuz diğer kökler ise $x = -3$ ve $x = 2$'dir.
- Dolayısıyla, polinomun tüm kökleri $\{-1, -3, 2\}$'dir. Soruda bizden diğer kökleri bulmamız isteniyordu, bu da $\{-3, 2\}$ kümesidir.
Bu sonuç, seçenek A ile uyuşmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
