ALES Geometri: Çember ve Daire - İpuçları ve Püf Noktaları Test 1

Bir dairenin çevresi, bir karenin çevresine eşittir. Dairenin alanının karenin alanına oranı nedir?

A) $\frac{\pi}{4}$
B) $\frac{4}{\pi}$
C) $\frac{\pi}{2}$
D) $\frac{2}{\pi}$

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde, bir daire ile bir karenin çevreleri eşit olduğunda, alanlarının oranını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözelim.

• Adım 1: Gerekli Formülleri Hatırlayalım ve Değişkenleri Tanımlayalım.

  Öncelikle, daire ve karenin çevre ve alan formüllerini hatırlayalım:

  • Dairenin yarıçapı $r$ olsun.
  • Dairenin çevresi: $C_{daire} = 2\pi r$
  • Dairenin alanı: $A_{daire} = \pi r^2$
  • Karenin bir kenar uzunluğu $a$ olsun.
  • Karenin çevresi: $C_{kare} = 4a$
  • Karenin alanı: $A_{kare} = a^2$

• Adım 2: Verilen Bilgiyi Matematiksel Olarak İfade Edelim.

  Soruda bize dairenin çevresinin karenin çevresine eşit olduğu söyleniyor. Bu bilgiyi formüllerle yazalım:

  $C_{daire} = C_{kare}$

  $2\pi r = 4a$

• Adım 3: Bir Değişkeni Diğer Cinsinden İfade Edelim.

  Şimdi, bu eşitliği kullanarak dairenin yarıçapı $r$ ile karenin kenar uzunluğu $a$ arasındaki ilişkiyi bulalım. Genellikle birini diğerinin cinsinden ifade etmek, sonraki adımlarda işimizi kolaylaştırır. $a$'yı $r$ cinsinden ifade edelim:

  $2\pi r = 4a$ eşitliğinin her iki tarafını $4$'e bölelim:

  $a = \frac{2\pi r}{4}$

  $a = \frac{\pi r}{2}$

  Bu, karenin bir kenar uzunluğunun, dairenin yarıçapının $\frac{\pi}{2}$ katı olduğu anlamına gelir.

• Adım 4: Dairenin Alanını Hesaplayalım.

  Dairenin alanı zaten $r$ cinsinden ifade edilmiş durumda:

  $A_{daire} = \pi r^2$

• Adım 5: Karenin Alanını Hesaplayalım.

  Karenin alan formülü $A_{kare} = a^2$ idi. Adım 3'te bulduğumuz $a = \frac{\pi r}{2}$ ifadesini yerine koyalım:

  $A_{kare} = \left(\frac{\pi r}{2}\right)^2$

  $A_{kare} = \frac{(\pi r)^2}{2^2}$

  $A_{kare} = \frac{\pi^2 r^2}{4}$

• Adım 6: Alanların Oranını Bulalım.

  Şimdi bizden istenen dairenin alanının karenin alanına oranıdır. Bulduğumuz alan ifadelerini oranlayalım:

  $\frac{A_{daire}}{A_{kare}} = \frac{\pi r^2}{\frac{\pi^2 r^2}{4}}$

  Bu ifadeyi sadeleştirelim. Paydadaki kesri ters çevirip pay ile çarpabiliriz:

  $\frac{A_{daire}}{A_{kare}} = \pi r^2 \cdot \frac{4}{\pi^2 r^2}$

  Şimdi pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirelim. $r^2$ terimleri ve $\pi$'nin bir tanesi sadeleşecektir:

  $\frac{A_{daire}}{A_{kare}} = \frac{4\pi r^2}{\pi^2 r^2}$

  $\frac{A_{daire}}{A_{kare}} = \frac{4}{\pi}$

Böylece, dairenin alanının karenin alanına oranının $\frac{4}{\pi}$ olduğunu bulduk.

Cevap B seçeneğidir.