Alanı $96\sqrt{3}$ cm² olan bir düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu kaç cm'dir?
A) 4Sevgili öğrenciler, bu soruda düzgün bir altıgenin alanını kullanarak bir kenar uzunluğunu bulacağız. Düzgün altıgenin özelliklerini hatırlayarak bu tür problemleri kolayca çözebiliriz.
Düzgün bir altıgen, 6 adet eşkenar üçgenden oluşur. Eğer düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu $a$ ise, bu eşkenar üçgenlerin her birinin kenar uzunluğu da $a$ olur.
Bir eşkenar üçgenin alan formülü: $A_{üçgen} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ dir.
Düzgün altıgenin alanı ise 6 tane eşkenar üçgenin alanının toplamına eşittir:
$A_{altıgen} = 6 \times A_{üçgen} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$
Bu ifadeyi sadeleştirirsek, düzgün altıgenin alan formülü şu şekilde olur:
$A_{altıgen} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$
Soruda bize düzgün altıgenin alanı $96\sqrt{3}$ cm² olarak verilmiştir. Bu değeri formülümüzde yerine yazalım:
$96\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$
Şimdi bu denklemi $a$ (bir kenar uzunluğu) için çözmeliyiz. Öncelikle denklemin her iki tarafındaki $\sqrt{3}$ ifadelerini sadeleştirebiliriz:
$96 = \frac{3}{2} a^2$
Şimdi $a^2$ yalnız bırakmak için denklemin her iki tarafını $\frac{2}{3}$ ile çarpalım (veya 2 ile çarpıp 3'e bölelim):
$96 \times \frac{2}{3} = a^2$
Hesaplamayı yapalım:
$\frac{192}{3} = a^2$
$64 = a^2$
Şimdi $a$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
$a = \sqrt{64}$
$a = 8$
Buna göre, düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu $8$ cm'dir.
Cevap C seçeneğidir.
