Bir düzgün sekizgenin bir kenar uzunluğu $2$ cm ise, bu sekizgenin alanı kaç cm²'dir?
A) $4 + 4\sqrt{2}$Bugün düzgün bir sekizgenin alanını nasıl hesaplayacağımızı adım adım öğreneceğiz. Düzgün sekizgenin bir kenar uzunluğu $2$ cm olarak verilmiş.
Düzgün bir sekizgenin $8$ kenarı ve $8$ köşesi vardır. Tüm kenar uzunlukları ve iç açıları birbirine eşittir.
Bir düzgün çokgenin alanını bulmak için, genellikle çokgeni merkezinden köşelerine çizilen çizgilerle eş üçgenlere ayırırız. Bir sekizgeni bu şekilde $8$ tane eş ikizkenar üçgene ayırabiliriz.
Merkezdeki toplam açı $360^\circ$'dir. Sekizgeni $8$ eş üçgene ayırdığımız için, her bir üçgenin merkezdeki açısı (tepe açısı) $ rac{360^\circ}{8} = 45^\circ$ olacaktır.
Bu üçgenlerin her birinin tabanı, sekizgenin bir kenar uzunluğuna eşittir, yani $s = 2$ cm'dir.
Her bir ikizkenar üçgenin alanını bulmak için taban ve yüksekliğe ihtiyacımız var. Yükseklik, çokgenin merkezinden bir kenara indirilen dikmedir ve buna apotem ($a$) denir.
Bu yükseklik, ikizkenar üçgeni iki eş dik üçgene ayırır. Bu dik üçgenlerden birini inceleyelim:
Hipotenüsü çokgenin yarıçapıdır.
Bir kenarı, sekizgenin kenar uzunluğunun yarısıdır: $ rac{s}{2} = rac{2}{2} = 1$ cm.
Diğer kenarı ise apotem ($a$) dediğimiz yüksekliktir.
Merkezdeki $45^\circ$'lik açı da bu yükseklik tarafından ikiye bölünür, yani dik üçgenin tepe açısı $ rac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ$ olur.
Şimdi bu dik üçgende trigonometrik oranları kullanalım:
$\tan(22.5^\circ) = rac{\text{karşı kenar}}{\text{komşu kenar}} = rac{s/2}{a} = rac{1}{a}$
Buradan $a = rac{1}{\tan(22.5^\circ)}$ olur.
$\tan(22.5^\circ)$ değerini hesaplamak için yarım açı formüllerini kullanabiliriz veya bilinen bir değer olarak kabul edebiliriz: $\tan(22.5^\circ) = \sqrt{2} - 1$.
O zaman $a = rac{1}{\sqrt{2} - 1}$ olur. Paydayı rasyonel hale getirelim:
$a = rac{1}{\sqrt{2} - 1} \times rac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = rac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = rac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1$ cm.
Her bir ikizkenar üçgenin tabanı $s = 2$ cm ve yüksekliği $a = \sqrt{2} + 1$ cm'dir.
Bir üçgenin alanı $= rac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} = rac{1}{2} \times s \times a = rac{1}{2} \times 2 \times (\sqrt{2} + 1) = \sqrt{2} + 1$ cm².
Sekizgen, $8$ tane bu eş üçgenden oluştuğu için, toplam alan $8$ ile bir üçgenin alanının çarpımına eşittir.
Sekizgenin Alanı $= 8 \times (\text{Bir üçgenin alanı}) = 8 \times (\sqrt{2} + 1) = 8\sqrt{2} + 8$ cm².
Bu ifadeyi $8 + 8\sqrt{2}$ şeklinde de yazabiliriz.
Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz sonuç B seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
