KPSS Matematik Oran Orantı Soru Çözümleri: Püf Noktaları Test 1

x, y ve z pozitif tam sayıları $2x = 3y = 5z$ eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre, x + y + z toplamının en küçük değeri kaçtır?

A) 28
B) 30
C) 31
D) 32
E) 33

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, $x$, $y$ ve $z$ gibi pozitif tam sayıların belirli bir eşitliği sağladığı verilmiş ve bu sayıların toplamının en küçük değerini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Eşitliği Anlayalım:

  Bize verilen eşitlik $2x = 3y = 5z$. Bu, $2x$, $3y$ ve $5z$ ifadelerinin hepsinin aynı sayıya eşit olduğu anlamına gelir. Bu ortak sayıya bir isim verelim, örneğin $k$ diyelim. Yani:

  $2x = k$

  $3y = k$

  $5z = k$

• 2. $x$, $y$ ve $z$'yi $k$ cinsinden İfade Edelim:

  Şimdi her bir değişkeni $k$ cinsinden yalnız bırakalım:

  $2x = k \implies x = \frac{k}{2}$

  $3y = k \implies y = \frac{k}{3}$

  $5z = k \implies z = \frac{k}{5}$

• 3. Tam Sayı Koşulunu Kullanalım:

  Soruda $x$, $y$ ve $z$'nin pozitif tam sayılar olduğu belirtilmiş. Bu, $x$, $y$ ve $z$ değerlerinin kesirli olamayacağı anlamına gelir. $x = \frac{k}{2}$ ifadesinin bir tam sayı olması için $k$'nın 2'ye tam bölünmesi gerekir. Benzer şekilde, $y = \frac{k}{3}$ ifadesinin bir tam sayı olması için $k$'nın 3'e tam bölünmesi gerekir ve $z = \frac{k}{5}$ ifadesinin bir tam sayı olması için $k$'nın 5'e tam bölünmesi gerekir.

  Özetle, $k$ sayısı hem 2'ye, hem 3'e, hem de 5'e tam bölünebilen bir sayı olmalıdır.

• 4. En Küçük Ortak Katı (EKOK) Bulalım:

  $k$'nın 2, 3 ve 5'e tam bölünebilen en küçük pozitif tam sayı olması gerekir. Bu da 2, 3 ve 5 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulmak demektir.

  2, 3 ve 5 sayıları asal sayılar olduğu için, EKOK'ları bu sayıların çarpımıdır:

  EKOK(2, 3, 5) = $2 \times 3 \times 5 = 30$

  Dolayısıyla, $k$'nın alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri 30'dur.

• 5. $x$, $y$ ve $z$ Değerlerini Hesaplayalım:

  $k = 30$ değerini kullanarak $x$, $y$ ve $z$'yi bulalım:

  $x = \frac{k}{2} = \frac{30}{2} = 15$

  $y = \frac{k}{3} = \frac{30}{3} = 10$

  $z = \frac{k}{5} = \frac{30}{5} = 6$

  Gördüğümüz gibi, $x=15$, $y=10$ ve $z=6$ değerleri pozitif tam sayılardır.

• 6. Toplamı Bulalım:

  Son olarak, $x + y + z$ toplamının en küçük değerini bulmak için bulduğumuz değerleri toplayalım:

  $x + y + z = 15 + 10 + 6 = 31$

Bu adımları takip ederek, $x + y + z$ toplamının en küçük değerinin 31 olduğunu bulduk.

Cevap C seçeneğidir.