3. Bir ikizkenar dik üçgenin dik kenarları 4 cm'dir. Bu üçgene benzer ve alanı 4 katı olan üçgenin hipotenüsü kaç cm'dir?
A) 8Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir ikizkenar dik üçgenin özelliklerini, alanını ve benzer üçgenler arasındaki ilişkiyi kullanarak yeni bir üçgenin hipotenüsünü bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
Soruda verilen ilk üçgen bir ikizkenar dik üçgendir ve dik kenarları $4$ cm'dir. İkizkenar dik üçgenler aynı zamanda $45^\circ-45^\circ-90^\circ$ üçgenleridir. Bu tür üçgenlerde hipotenüs, dik kenarın $\sqrt{2}$ katıdır.
Hipotenüs = Dik Kenar $\times \sqrt{2}$
Hipotenüs = $4 \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ cm.
İsterseniz Pisagor Teoremi ile de bulabiliriz: $4^2 + 4^2 = \text{hipotenüs}^2 \Rightarrow 16 + 16 = \text{hipotenüs}^2 \Rightarrow 32 = \text{hipotenüs}^2 \Rightarrow \text{hipotenüs} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$ cm.
Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısıdır.
Alan = $\frac{\text{Dik Kenar}_1 \times \text{Dik Kenar}_2}{2}$
Alan = $\frac{4 \times 4}{2} = \frac{16}{2} = 8$ cm$^2$.
Soruda, yeni üçgenin ilk üçgene benzer olduğu ve alanının $4$ katı olduğu belirtiliyor.
Benzer Üçgenin Alanı = $4 \times (\text{İlk Üçgenin Alanı})$
Benzer Üçgenin Alanı = $4 \times 8 = 32$ cm$^2$.
İki benzer üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Yani, $\frac{\text{Alan}_2}{\text{Alan}_1} = k^2$.
Burada $\text{Alan}_1 = 8$ cm$^2$ ve $\text{Alan}_2 = 32$ cm$^2$.
$\frac{32}{8} = k^2$
$4 = k^2$
$k = \sqrt{4} = 2$. (Benzerlik oranı pozitif olmalıdır.)
Bu $k=2$ oranı, yeni üçgenin kenarlarının ilk üçgenin kenarlarının $2$ katı olduğu anlamına gelir.
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları benzerlik oranına eşittir. İlk üçgenin hipotenüsünü $4\sqrt{2}$ cm olarak bulmuştuk. Yeni üçgenin hipotenüsü de ilk üçgenin hipotenüsünün $k$ katı olacaktır.
Benzer Üçgenin Hipotenüsü = $k \times (\text{İlk Üçgenin Hipotenüsü})$
Benzer Üçgenin Hipotenüsü = $2 \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ cm.
Bu adımları takip ederek doğru cevabı bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
