fonksiyonun nitel özellikleri örnekleri Test 1

$f(x) = \frac{1}{x-2}$ fonksiyonu hangi noktada süreksizdir?

A) x = 0
B) x = 1
C) x = 2
D) x = -2

Bir fonksiyonun sürekli olması için, tanım kümesindeki her noktada tanımlı olması, o noktadaki limitinin var olması ve fonksiyon değerinin limit değerine eşit olması gerekir. Fonksiyonların süreksiz olduğu noktalar genellikle aşağıdaki durumlarda ortaya çıkar:

• Fonksiyonun o noktada tanımlı olmaması (örneğin, paydanın sıfır olması durumu).
• Fonksiyonun o noktada limitinin olmaması.
• Fonksiyonun o noktadaki değeri ile limitinin farklı olması.

Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{1}{x-2}$ bir rasyonel fonksiyondur (yani bir kesirli ifadedir). Rasyonel fonksiyonlarda süreksizlik genellikle paydanın sıfır olduğu noktalarda meydana gelir, çünkü matematiksel olarak sıfıra bölme tanımsızdır.

Fonksiyonun paydası $x-2$'dir. Bu paydanın sıfır olduğu değeri bulmak için denklemi çözelim:

• Paydayı sıfıra eşitleyelim: $x-2 = 0$
• $x$ değerini bulmak için $-2$'yi eşitliğin diğer tarafına atalım: $x = 2$

Bu durumda, $x = 2$ olduğunda fonksiyonun paydası sıfır olur ve $f(2) = \frac{1}{2-2} = \frac{1}{0}$ ifadesi tanımsız hale gelir. Bir fonksiyonun bir noktada tanımlı olmaması, o noktada süreksiz olduğu anlamına gelir.

Dolayısıyla, $f(x) = \frac{1}{x-2}$ fonksiyonu $x = 2$ noktasında süreksizdir.

Cevap C seçeneğidir.